Задания по теме «Многогранник»

Открытый банк заданий по теме многогранник. Задания B8 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №915

Тип задания: 8
Тема: Многогранник

Условие

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, B_1 Прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1, у которого AB = 6, AD = 6 и AA_1 = 8.

Показать решение

Решение

Указанный в условии многогранник является треугольной пирамидой, в основании которой лежит треугольник ABC, а высотой является боковое ребро призмы BB_1 так как BB_1\perp ABCD.

Треугольная пирамида в параллелепипеде

S_{ABC}= \frac12S_{ABCD}= \frac12\cdot AB\cdot BC= \frac12\cdot6\cdot6=18.

Отсюда, V_{ABCB_1}= \frac12S_{ABC}\cdot BB_1= \frac13S_{ABC}\cdot AA_1= \frac13\cdot18\cdot8= 48.

Ответ

48
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №913

Тип задания: 8
Тема: Многогранник

Условие

Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Многогранник с прямыми двугранными углами

Показать решение

Решение

Данный многогранник является прямой призмой и получается объединением двух прямых призм. В основании первой призмы лежит прямоугольник со сторонами 3 и 3, а её высота h_1 равна 5. Объём этой призмы V_1 находим по формуле V1 = Sосн. · h1 = 3\cdot3\cdot5 = 45. В основании второй призмы лежит прямоугольник со сторонами 2 и 1, а её высота h_2 равна 5. Объём этой призмы V_2 находим по формуле V2 = Sосн. · h2 = 2\cdot1\cdot5 = 10. Объём V данного многогранника равен сумме объёмов указанных призм: V = V_1 + V_2 = 45 + 10 = 55.

Ответ

55
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №908

Тип задания: 8
Тема: Многогранник

Условие

Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Многогранник с прямыми двугранными углами

Показать решение

Решение

Площадь поверхности S многогранника состоит из площади оснований и площади боковой поверхности. Площадь одного из двух равных оснований равна разности площадей двух прямоугольников, имеющих измерения 6×4 и 1×2, то есть 6\cdot4-2\cdot1. Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания многогранника на его высоту. Отсюда, S = 2 · Sосн. + Sбок. = 2 · Sосн. + Pосн. · h, где Sосн. Pосн. и h соответственно — площадь основания, периметр основания и высота многогранника. S=(6\cdot4-2\cdot1)\cdot2+ (2+1+1+6+4+6+1+1)\cdot4= 132.

Ответ

132
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №312

Тип задания: 8
Тема: Многогранник

Условие

Найдите объем многогранника, все двугранные углы которого прямые.

Многогранник с прямыми двугранными углами

Показать решение

Решение

Данный многогранник состоит из четырех многогранников.

Многогранник состоящий из четырех многогранников

Объем данного многогранника состоит из суммы объемов четырех многогранников: V=V_1+V_2+V_3+V_4.

Измерения первого многогранника: 12-8=4;\;3;\;10-5=5.

Измерения второго многогранника: 8;\;3;\;5.

Измерения третьего многогранника: 8;\;4;\;5.

Измерения четвертого многогранника: 8;\;3;\;5.

Отсюда V=4\cdot3\cdot5+8\cdot3\cdot5+8\cdot4\cdot5+ 8\cdot3\cdot5= 60+120+160+120= 460.

Ответ

460
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №311

Тип задания: 8
Тема: Многогранник

Условие

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A,D,A_1,B,B_1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1, у которого AB=8, AD=9, AA_1=7.

Показать решение

Решение

Рассмотрим рисунок:

Многогранник с вершинами прямоугольного параллелепипеда

Многогранник DAA_1B_1B является пирамидой, в основании которой лежит прямоугольник AA_1B_1B, а высотой является AD.

Поэтому V_{DAA_1B_1B}= \frac13 S_{DAA_1B_1B}\cdot AD= \frac13\cdot7\cdot8\cdot9= 168.

Ответ

168
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №106

Тип задания: 8
Тема: Многогранник

Условие

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 боковое ребро равно 12, а площадь основания равна 10. Найдите объем многогранника DEFD_1E_1F_1.

Правильная шестиугольная призма

Показать решение

Решение

Основание правильной шестиугольной призмыДля вычисления объема многогранника DEFD_1E_1F_1 воспользуемся формулой:

V = S \cdot h

Так как в основании лежит правильный шестигранник, то площадь полученного треугольника DEF равна \frac16 от площади шестигранника (см. рис.). Соответственно объем многогранника равен:

V = \frac16 \cdot 10 \cdot h = \frac53 \cdot 12 = 20

Ответ

20

Задание №105

Тип задания: 8
Тема: Многогранник

Условие

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 боковое ребро равно 5, а площадь основания равна 12. Найдите объем многогранника ABCA_1B_1C_1.

Правильная шестиугольная призма

Показать решение

Решение

Основание правильной шестиугольной призмыОбъем многогранника ABCA_1B_1C_1 можно вычислить по формуле:

V = S \cdot h

Площадь образованного треугольника ABC равна \frac16 от площади основания призмы (см. рис.). Соответственно объем многогранника равен:

V = \frac16 \cdot 12 \cdot h = \frac16 \cdot 12 \cdot 5 = 10

Ответ

10