Задания по теме «Неравенства»

Открытый банк заданий по теме неравенства. Задания C3 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №995

Тип задания: 15
Тема: Логарифмические неравенства

Условие

Решите неравенство \frac{\log_{25}(2-x)+\log_{35}\dfrac{1}{2-x}}{\log_{35}x^3-3\log_{49}x}\leq \log_{49}25.

Показать решение

Решение

Найдём ОДЗ неравенства.

\begin{cases} 2-x > 0, \\ x > 0, \\ \log_{35}x^3-3\log_{49}x \neq 0;\end{cases}

\begin{cases}x < 2, \\ x > 0, \\ \frac{3 \ln x}{\ln 35} -\frac{3 \ln x}{\ln 49} \neq 0;\end{cases}

\begin{cases} x < 2, \\ x > 0, \\ \ln x \left ( \frac{1}{ \ln 35}-\frac{1}{\ln 49}\right ) \neq 0;\end{cases}

\begin{cases}x < 2, \\ x > 0, \\ \ln x \neq 0; \end{cases}

\begin{cases}x < 2, \\ x > 0, \\ x \neq 1; \end{cases}

(0;1) \cup (1;2).

Исследуем знак левой части неравенства.

При 0 < x < 1:

\log_{35}x^3-3\log_{49}x= 3\log_{35}x-3\log_{49}x= \frac{3}{\log_{x}35}-\frac{3}{\log_{x}49} < 0

(так как \log_{x}49 < \log_{x}35 < 0).

\log_{25}(2-x)+\log_{35}\left ( \frac{1}{2-x}\right )= \log_{25}(2-x)-\log_{35}(2-x)= \frac{1}{\log_{2-x}25}-\frac{1}{\log_{2-x}35} > 0 (так как 2-x > 1, и значит, 0 < \log_{2-x}25 < \log_{2-x}35).

При 1 < x < 2:

\log_{35}x^{3}-3 \log_{49}x= 3 \log_{35}x-3 \log_{49}x= \frac{3}{\log_{x}35}-\frac{3}{\log_{x}49} > 0

(так как 0 < \log_{x}35 < \log_{x}49);

\log_{25}(2-x)+\log_{35}\left ( \frac{1}{2-x}\right )= \log_{25}(2-x)-\log_{35}(2-x)= \frac{1}{\log_{2-x}25}-\frac{1}{\log_{2-x}35} < 0 (так как 2-x < 1, и значит, \log_{2-x}35 < \log_{2-x}25 < 0).

Таким образом, левая часть исходного неравенства отрицательна при всех значениях x из ОДЗ. С другой стороны, \log_{49}25 > 0. Значит, левая часть исходного неравенства не превосходит \log_{49}25 при любом значении x из ОДЗ.

Следовательно, решение данного неравенства: (0;1) \cup (1;2).

Ответ

(0;1) \cup (1;2).

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №994

Условие

Решите неравенство \log_{3}(x-1) \leq 4-9\log_{9(x-1)}3.

Показать решение

Решение

ОДЗ уравнения: \begin{cases} x-1 > 0, \\ 9(x-1) \neq 1,  \end{cases}  то есть x > 1, x \neq \frac{10}{9}.

Используя формулу \log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}, получаем

\log_{9(x-1)}3=\frac{1}{\log_{3}(x-1)+2}.

Неравенство примет вид \log_{3}(x-1) \leq 4-\frac{9}{\log_{3}(x-1)+2}. Пусть \log_{3}(x-1)=t, тогда t-4+\frac{9}{t+2} \leq 0,

\frac{(t-1)^2}{t+2} \leq 0, t=1 или t < -2.

\log_{3}(x-1)=1, откуда x-1=3, x=4 или \log_{3}(x-1) < -2, откуда x-1 < \frac{1}{9}, x < \frac{10}{9}. Учитывая ОДЗ, получим 1 < x < \frac{10}{9}, x=4.

Ответ

\left (1; \frac{10}{9}  \right ), 4.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №993

Условие

Решите неравенство (x^2+2x-3)\log _{2x-1}(4x^2-11x+7) \leq 0

Показать решение

Решение

ОДЗ: \begin{cases} 2x-1 > 0,\\ 2x-1 \neq 1, \\ 4x^2-11x+7 > 0; \end{cases}

\begin{cases} x > \frac{1}{2}, \\ x \neq 1, \\ \left[\!\!\begin{array}{l} x < 1, \\ x > \frac{7}{4}; \end{array}\right.\end{cases} x \in \left (\frac{1}{2};1 \right ) \cup \left ( \frac{7}{4}; +\infty \right ).

Применяя метод рационализации, получим, что на ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству:

(x^2+2x-3)\cdot (2x-1-1)\cdot (4x^2-11x+7-1) \leq 0;

(x-1)\cdot (x+3)\cdot (2x-2)\cdot (4x^2-11x+6) \leq 0;

(x-1)^2(x+3)(x-2)\left(x-\frac{3}{4}\right) \leq 0.

Метод интервалов с учетом ОДЗ

Из рисунка следует, что \frac{3}{4} \leq x < 1; \frac{7}{4} < x \leq 2.

Ответ

\left [\frac{3}{4};1  \right ) \cup \left (  \frac{7}{4};2\right ]

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №992

Тип задания: 15
Тема: Показательные неравенства

Условие

Решите неравенство \frac{(|2x+1|-x-2) \cdot \left ( \log_{\tfrac{1}{3}}(x+4)+1 \right )}{5^{x^{2}+1}-5^{x}} \geq 0.

Показать решение

Решение

Найдём область определения неравенства.

\begin{cases}x+4 >0, \\5^{x^{2}+1}-5^{x} \neq0; \end{cases}

\begin{cases} x > -4, \\ x^{2}+1 \neq x;\end{cases}

\begin{cases} x > -4, \\ x^{2}-x+1 \neq 0;\end{cases}

x > -4.

Для решения данного неравенства применяем метод интервалов.

а) Пусть f(x)= \frac{(|2x+1|-x-2) \cdot \left ( \log_{\tfrac{1}{3}}(x+4)+1 \right )}{5^{x^{2}+1}-5^{x}}.

б) Область определения функции f(x): D(f)=(-4;+\infty ).

в) Нули функции f(x): f(x)=0.

\frac{(|2x+1|-x-2) \cdot \left ( \log_{\tfrac{1}{3}}(x+4)+1 \right )}{5^{x^{2}+1}-5^{x}}=0\Leftrightarrow

\Leftrightarrow \begin{cases} (|2x+1|-x-2) \cdot \left ( \log_{\tfrac{1}{3}}(x+4)+1 \right )=0, \\ x >-4; \end{cases}

\begin{cases} \left[\!\!\begin{array}{l} |2x+1|-x-2=0, \\ \log_{\tfrac{1}{3}}(x+4)+1=0 \end{array}\right. \\x > -4. \end{cases}

Уравнение |2x+1|-x-2=0 или |2x+1|=x+2 равносильно системе

\begin{cases} (2x+1)^2=(x+2)^2,\\x+2 \geq 0; \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\!\!\begin{array}{l} x=-1, \\ x=1, \end{array}\right.\\ x+2 \geq 0; \end{cases} \Leftrightarrow x=\pm 1.

Уравнение \log_{\tfrac{1}{3}}(x+4)+1=0 имеет корень x=-1.

г) Промежутки знакопостоянства функции f(x). На каждом из промежутков (-4;-1), (-1;1), (1; +\infty ) функция f(x) непрерывна и сохраняет постоянный знак. Так как f(-2) > 0, f(0) > 0, f(2) < 0, то f(x) \geq 0 при всех значениях x \in (-4;1].

Ответ

(-4;1].

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №991

Тип задания: 15
Тема: Показательные неравенства

Условие

Решите неравенство 3^{x}\sqrt{5x-x^{2}+14} \leq 27\sqrt{5x-x^{2}+14}.

Показать решение

Решение

Данное неравенство равносильно неравенству (3^{x}-27)\sqrt{5x-x^{2}+14} \leq 0. Будем использовать метод интервалов, предварительно найдя ОДЗ и нули левой части неравенства.

Найдём ОДЗ неравенства:

-x^{2}+5x+14 \geq 0,  x^{2}-5x-14 \leq 0,  (x-7)(x+2) \leq 0,  x \in [-2;7].

Найдём нули левой части неравенства: (3^{x}-27)\sqrt{5x-x^{2}+14}=0,

3^{x}-27=0,  3^{x}=3^{3},  x=3.

\sqrt{5x-x^{2}+14}=0,  -x^{2}+5x+14=0,  x_{1}=-2,  x_{2}=7.

Найдем знаки выражения (3^{x}-27)\sqrt{5x-x^{2}+14}

Метод интервалов

x \in [-2;3] \cup \{7\}.

Ответ

[-2;3] \cup \{7\}

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №990

Тип задания: 15
Тема: Показательные неравенства

Условие

Решите неравенство 7^{2x}-7^{x+1}+3|7^{x}-5| \geq 6

Показать решение

Решение

Введём обозначение 7^x=t,\, t > 0. Неравенство примет вид t^{2}-7t+3|t-5| \geq 6.

\left[\!\!\begin{array}{l} \begin{cases} t^{2}-7t+3(t-5) \geq 6, \\ t \geq 5; \end{cases} \\ \begin{cases} t^{2}-7t+3(-t+5) \geq 6, \\ 0 < t \leq 5; \end{cases} \end{array}\right.

\left[\!\!\begin{array}{l} \begin{cases} t^{2}-4t-21 \geq 0, \\ t \geq 5; \end{cases} \\ \begin{cases} t^{2}-10t+9 \geq 0, \\ 0 < t \leq 5; \end{cases} \end{array}\right.

\left[\!\!\begin{array}{l} \begin{cases} t \leq -3; t \geq 7, \\ t \geq 5; \end{cases} \\ \begin{cases} t \leq 1; t \geq 9, \\ 0 < t \leq 5; \end{cases} \end{array}\right.

\left[\!\!\begin{array}{l} t \geq 7, \\ 0 < t \leq 1. \end{array}\right.

1) 0 < 7^{x} \leq 1,\,x \leq 0.

2) 7^{x} \geq 7,\, x \geq 1.

Значит, объединением решений будут промежутки (-\infty ;0] и [1;+\infty ).

Ответ

(-\infty ;0] \cup [1;+\infty )

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №989

Условие

Решите неравенство \log_{|x+2|}(12+4x-x^{2}) \leq 2.

Показать решение

Решение

ОДЗ:

\begin{cases}12+4x-x^{2} > 0, \\ x+2 \neq 0, \\ |x+2| \neq 1;  \end{cases}

\begin{cases} x^{2} - 4x -12 < 0, \\ x \neq -2, \\x  \neq -1, \\ x \neq -3;  \end{cases}

\begin{cases}(x+2)(x-6) < 0, \\ x \neq -2, \\x  \neq -1, \\ x \neq -3;  \end{cases}

x \in (-2;-1) \cup (-1;6).

\log_{|x+2|}(12+4x-x^{2}) \leq \log_{|x+2|}(x+2)^{2}.

\log_{|x+2|}(12+4x-x^{2}) - \log_{|x+2|}(x+2)^{2} \leq 0.

На ОДЗ заменим полученное неравенство равносильными неравенствами, применив дважды метод рационализации:

1) знак \log_{a}f-\log_{a}g совпадает со знаком (a-1)(f-g).

2) знак |f|-|g| совпадает со знаком f^{2}-g^{2}=(f-g)(f+g).

Согласно 1: (|x+2|-1)\cdot (12+4x-x^{2}-x^{2}-4x-4) \leq 0,

(|x+2|-1)(-2x^{2}+8) \leq 0.

Разделим обе части неравенства на -2.

(|x+2|-1)(x^{2}-4) \geq 0.

Согласно 2: (x+2-1)(x+2+1)(x^{2}-4) \geq 0,

(x+1)(x+3)(x-2)(x+2) \geq 0.

Решение неравенства показано на рисунке

Метод интервалов

x \leq -3,\, -2 \leq x \leq -1,\, x \geq 2.

Учитывая ОДЗ, получим:

Метод интервалов с учетом ОДЗ

-2 < x < -1;\, 2 \leq x < 6

Ответ

(-2;-1)\cup [2;6)

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №988

Тип задания: 15
Тема: Показательные неравенства

Условие

Решите неравенство \frac{4 \cdot 5^{x}-17}{5^{x}-4}+\frac{10 \cdot 5^{x}-13}{2 \cdot 5^{x}-3} > \frac{8 \cdot 5^{x}-30}{2 \cdot 5^{x}-7}+\frac{5^{x+1}-4}{5^{x}-1}.

Показать решение

Решение

С помощью замены 5^{x}=t, где t > 0, приведем неравенство к виду \frac{4t-17}{t-4}+\frac{10t-13}{2t-3} > \frac{8t-30}{2t-7}+\frac{5t-4}{t-1}.

Выделим целую часть в каждом слагаемом:

4-\frac{1}{t-4}+5+\frac{2}{2t-3} > 4-\frac{2}{2t-7}+5+\frac{1}{t-1},

\frac{2}{2t-3}-\frac{1}{t-4}+\frac{2}{2t-7}-\frac{1}{t-1} > 0.

После приведения к общему знаменателю и упрощению получим:

\frac{2t-5}{(2t-3)(t-4)(2t-7)(t-1)} < 0.

Решим неравенство методом интервалов

Метод интервалов

С учётом условия t > 0, получим

0 < t < 1,  \frac{3}{2} < t < \frac{5}{2},  \frac{7}{2} < t < 4.

Возвращаясь к переменной x, получим, что 5^{x} < 1,  \frac{3}{2} < 5^{x} < \frac{5}{2},  \frac{7}{2} < 5^{x} < 4 откуда x < 0,  \log_{5}\frac{3}{2} < x < \log_{5}\frac{5}{2},  \log_{5}\frac{7}{2} < x < \log_{5}4.

Ответ

(-\infty ;0)\, \cup \left (  \log_{5}\frac{3}{2}; \log_{5}\frac{5}{2}\right )\,\cup \left (  \log_{5}\frac{7}{2}; \log_{5}4\right ) 

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №967

Тип задания: 15
Тема: Показательные неравенства

Условие

Решите неравенство \frac{3^{2x}+2 \cdot 3^{x}+2}{3^{2x}+2 \cdot 3^{x}} \leq 4+\frac{1}{3^{x}}-\frac{3 \cdot 3^{x}+1}{3^{x}-1}.

Показать решение

Решение

\frac{3^{2x}+2 \cdot 3^{x}+2}{3^{2x}+2 \cdot 3^{x}} \leq 4+\frac{1}{3^{x}}-\frac{3 \cdot 3^{x}+1}{3^{x}-1}.

Обозначим 3^{x}=t,\, t > 0. Неравенство примет вид:

\frac{t^{2}+2t+2}{t^{2}+2t} \leq 4 +\frac{1}{t}-\frac{3t+1}{t-1},

1+\frac{2}{t(t+2)}-4-\frac{1}{t}+\frac{3t+1}{t-1} \leq 0,

\frac{3(t+3)t}{t(t-1)(t+2)} \leq 0. Воспользуемся условием t > 0.

Так как при этом t+3 > 0 и t+2 > 0, то неравенство верно при t-1 < 0, то есть 0 < t < 1. Тогда 0 < 3^{x} < 1, x < 0.

Ответ

(-\infty ; 0)

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №960

Тип задания: 15
Тема: Логарифмические неравенства

Условие

Решите неравенство: \frac{\log_2(x+5)}{2^{x+2}-4^x-3}\leq\log_2(x+5).

Показать решение

Решение

ОДЗ: \begin{cases} x+5 > 0, \\ 2^{x+2}-4^x-3 \neq 0;  \end{cases}\enspace \begin{cases} x> -5, \\ 2^{2x} -4 \cdot 2^x+3 \neq0;  \end{cases}\enspace \begin{cases} x > -5, \\ x\neq 0, \\ x \neq \log_2 3\end{cases}.

x \in (-5; 0) \cup (0; \log_2 3) \cup (\log_2 3; +\infty ).

\frac{(1-4\cdot2^x+4^x+3)\log_2 (x+5)}{(2^x -1)(2^x -3)} \geq0,

\frac{(2^x -2)^2 \log_2 (x+5)}{(2^x - 2^0)(2^x -2^{\log_2 3})} \geq0.

Применим метод замены множителя, учитывая, что

а) \log_{h(x)} f(x) \rightarrow (h(x)-1)(f(x)-1) , тогда

\log_2 (x+5) \rightarrow (2-1)(x+5-1)= x+4.

б) h(x)^{p(x)}-h(x)^{q(x)} \rightarrow (h(x)-1) (p(x)-q(x)), тогда

2^x -2 \rightarrow (2-1)(x-1)=x-1,

2^x -2^0 =(2-1)(x-0)=x ,

2^x -2^{\log_2 3}= (2-1)(x-\log_2 3)= x-\log_2 3.

Неравенство примет вид \frac{(x+4)(x-1)^2}{x(x-\log_2 3)} \geq 0. Решим его методом интервалов.

Метод интервалов

Учитывая ОДЗ x> -5, x \neq 0 и x\neq \log_2 3, получим -4 \leq x < 0; x > \log_2 3. x=1.

Ответ

[-4;0) \cup  \left \{  1\right \} \cup (\log_2 3; +\infty) 

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.