Задания по теме «Пирамида»

Открытый банк заданий по теме пирамида. Задания B8 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №111

Тип задания: 8
Тема: Пирамида

Условие

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4, высота равна 2. Найдите объем пирамиды.

Правильная четырехугольная пирамида

Показать решение

Решение

Правильная четырехугольная пирамидаОбъем пирамиды вычисляется по формуле

V=\frac13Sh

где S – площадь основания; h – высота пирамиды

Для нахождения площади, найдем диагональ квадрата основания пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является сторона пирамиды, а одним из катетов высота пирамиды. По теореме Пифагора диагональ будет равна:

d=2\cdot\sqrt{4^2-2^2}=2\cdot\sqrt{12}=4\sqrt{3}

Зная угол CAB = 45^{\circ} прямоугольного треугольника ABC мы можем найти сторону AB:

AB=d\cdot\cos 45^{\circ}=4\sqrt{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=4\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{6}

Площадь основания равна:

S = \left ( 2\sqrt{6} \right )^2=4\cdot 6=24

Объем пирамиды равен:

V = \frac13\cdot 24\cdot 2=16

Ответ

16

Задание №110

Тип задания: 8
Тема: Пирамида

Условие

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 7,5, а сторона основания равна 10. Найдите высоту пирамиды.

Правильная четырехугольная пирамида

Показать решение

Решение

Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат. По теореме Пифагора найдем диагональ квадрата, центр которой пересекает вершина пирамиды.

d^2=10^2+10^2=200

d=10\sqrt{2}

Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором один катет является половиной диагонали квадрата основания пирамиды, а гипотенуза равна ее боковому ребру. По теореме Пифагора найдем второй катет, являющийся высотой пирамиды:

h^2=(7,5)^2-\left ( \frac{10\sqrt{2}}{2} \right )^2=56,25-50=6,25

h = \sqrt{6,25} = 2,5

Ответ

2,5