Задания по теме «Показательные неравенства»

Открытый банк заданий по теме показательные неравенства. Задания C3 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №992

Тип задания: 15
Тема: Показательные неравенства

Условие

Решите неравенство \frac{(|2x+1|-x-2) \cdot \left ( \log_{\tfrac{1}{3}}(x+4)+1 \right )}{5^{x^{2}+1}-5^{x}} \geq 0.

Показать решение

Решение

Найдём область определения неравенства.

\begin{cases}x+4 >0, \\5^{x^{2}+1}-5^{x} \neq0; \end{cases}

\begin{cases} x > -4, \\ x^{2}+1 \neq x;\end{cases}

\begin{cases} x > -4, \\ x^{2}-x+1 \neq 0;\end{cases}

x > -4.

Для решения данного неравенства применяем метод интервалов.

а) Пусть f(x)= \frac{(|2x+1|-x-2) \cdot \left ( \log_{\tfrac{1}{3}}(x+4)+1 \right )}{5^{x^{2}+1}-5^{x}}.

б) Область определения функции f(x): D(f)=(-4;+\infty ).

в) Нули функции f(x): f(x)=0.

\frac{(|2x+1|-x-2) \cdot \left ( \log_{\tfrac{1}{3}}(x+4)+1 \right )}{5^{x^{2}+1}-5^{x}}=0\Leftrightarrow

\Leftrightarrow \begin{cases} (|2x+1|-x-2) \cdot \left ( \log_{\tfrac{1}{3}}(x+4)+1 \right )=0, \\ x >-4; \end{cases}

\begin{cases} \left[\!\!\begin{array}{l} |2x+1|-x-2=0, \\ \log_{\tfrac{1}{3}}(x+4)+1=0 \end{array}\right. \\x > -4. \end{cases}

Уравнение |2x+1|-x-2=0 или |2x+1|=x+2 равносильно системе

\begin{cases} (2x+1)^2=(x+2)^2,\\x+2 \geq 0; \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\!\!\begin{array}{l} x=-1, \\ x=1, \end{array}\right.\\ x+2 \geq 0; \end{cases} \Leftrightarrow x=\pm 1.

Уравнение \log_{\tfrac{1}{3}}(x+4)+1=0 имеет корень x=-1.

г) Промежутки знакопостоянства функции f(x). На каждом из промежутков (-4;-1), (-1;1), (1; +\infty ) функция f(x) непрерывна и сохраняет постоянный знак. Так как f(-2) > 0, f(0) > 0, f(2) < 0, то f(x) \geq 0 при всех значениях x \in (-4;1].

Ответ

(-4;1].

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №991

Тип задания: 15
Тема: Показательные неравенства

Условие

Решите неравенство 3^{x}\sqrt{5x-x^{2}+14} \leq 27\sqrt{5x-x^{2}+14}.

Показать решение

Решение

Данное неравенство равносильно неравенству (3^{x}-27)\sqrt{5x-x^{2}+14} \leq 0. Будем использовать метод интервалов, предварительно найдя ОДЗ и нули левой части неравенства.

Найдём ОДЗ неравенства:

-x^{2}+5x+14 \geq 0,  x^{2}-5x-14 \leq 0,  (x-7)(x+2) \leq 0,  x \in [-2;7].

Найдём нули левой части неравенства: (3^{x}-27)\sqrt{5x-x^{2}+14}=0,

3^{x}-27=0,  3^{x}=3^{3},  x=3.

\sqrt{5x-x^{2}+14}=0,  -x^{2}+5x+14=0,  x_{1}=-2,  x_{2}=7.

Найдем знаки выражения (3^{x}-27)\sqrt{5x-x^{2}+14}

Метод интервалов

x \in [-2;3] \cup \{7\}.

Ответ

[-2;3] \cup \{7\}

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №990

Тип задания: 15
Тема: Показательные неравенства

Условие

Решите неравенство 7^{2x}-7^{x+1}+3|7^{x}-5| \geq 6

Показать решение

Решение

Введём обозначение 7^x=t,\, t > 0. Неравенство примет вид t^{2}-7t+3|t-5| \geq 6.

\left[\!\!\begin{array}{l} \begin{cases} t^{2}-7t+3(t-5) \geq 6, \\ t \geq 5; \end{cases} \\ \begin{cases} t^{2}-7t+3(-t+5) \geq 6, \\ 0 < t \leq 5; \end{cases} \end{array}\right.

\left[\!\!\begin{array}{l} \begin{cases} t^{2}-4t-21 \geq 0, \\ t \geq 5; \end{cases} \\ \begin{cases} t^{2}-10t+9 \geq 0, \\ 0 < t \leq 5; \end{cases} \end{array}\right.

\left[\!\!\begin{array}{l} \begin{cases} t \leq -3; t \geq 7, \\ t \geq 5; \end{cases} \\ \begin{cases} t \leq 1; t \geq 9, \\ 0 < t \leq 5; \end{cases} \end{array}\right.

\left[\!\!\begin{array}{l} t \geq 7, \\ 0 < t \leq 1. \end{array}\right.

1) 0 < 7^{x} \leq 1,\,x \leq 0.

2) 7^{x} \geq 7,\, x \geq 1.

Значит, объединением решений будут промежутки (-\infty ;0] и [1;+\infty ).

Ответ

(-\infty ;0] \cup [1;+\infty )

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №988

Тип задания: 15
Тема: Показательные неравенства

Условие

Решите неравенство \frac{4 \cdot 5^{x}-17}{5^{x}-4}+\frac{10 \cdot 5^{x}-13}{2 \cdot 5^{x}-3} > \frac{8 \cdot 5^{x}-30}{2 \cdot 5^{x}-7}+\frac{5^{x+1}-4}{5^{x}-1}.

Показать решение

Решение

С помощью замены 5^{x}=t, где t > 0, приведем неравенство к виду \frac{4t-17}{t-4}+\frac{10t-13}{2t-3} > \frac{8t-30}{2t-7}+\frac{5t-4}{t-1}.

Выделим целую часть в каждом слагаемом:

4-\frac{1}{t-4}+5+\frac{2}{2t-3} > 4-\frac{2}{2t-7}+5+\frac{1}{t-1},

\frac{2}{2t-3}-\frac{1}{t-4}+\frac{2}{2t-7}-\frac{1}{t-1} > 0.

После приведения к общему знаменателю и упрощению получим:

\frac{2t-5}{(2t-3)(t-4)(2t-7)(t-1)} < 0.

Решим неравенство методом интервалов

Метод интервалов

С учётом условия t > 0, получим

0 < t < 1,  \frac{3}{2} < t < \frac{5}{2},  \frac{7}{2} < t < 4.

Возвращаясь к переменной x, получим, что 5^{x} < 1,  \frac{3}{2} < 5^{x} < \frac{5}{2},  \frac{7}{2} < 5^{x} < 4 откуда x < 0,  \log_{5}\frac{3}{2} < x < \log_{5}\frac{5}{2},  \log_{5}\frac{7}{2} < x < \log_{5}4.

Ответ

(-\infty ;0)\, \cup \left (  \log_{5}\frac{3}{2}; \log_{5}\frac{5}{2}\right )\,\cup \left (  \log_{5}\frac{7}{2}; \log_{5}4\right ) 

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №967

Тип задания: 15
Тема: Показательные неравенства

Условие

Решите неравенство \frac{3^{2x}+2 \cdot 3^{x}+2}{3^{2x}+2 \cdot 3^{x}} \leq 4+\frac{1}{3^{x}}-\frac{3 \cdot 3^{x}+1}{3^{x}-1}.

Показать решение

Решение

\frac{3^{2x}+2 \cdot 3^{x}+2}{3^{2x}+2 \cdot 3^{x}} \leq 4+\frac{1}{3^{x}}-\frac{3 \cdot 3^{x}+1}{3^{x}-1}.

Обозначим 3^{x}=t,\, t > 0. Неравенство примет вид:

\frac{t^{2}+2t+2}{t^{2}+2t} \leq 4 +\frac{1}{t}-\frac{3t+1}{t-1},

1+\frac{2}{t(t+2)}-4-\frac{1}{t}+\frac{3t+1}{t-1} \leq 0,

\frac{3(t+3)t}{t(t-1)(t+2)} \leq 0. Воспользуемся условием t > 0.

Так как при этом t+3 > 0 и t+2 > 0, то неравенство верно при t-1 < 0, то есть 0 < t < 1. Тогда 0 < 3^{x} < 1, x < 0.

Ответ

(-\infty ; 0)

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №228

Тип задания: 15
Тема: Показательные неравенства

Условие

Решите неравенство \left | 2^{x}-3 \right | \geq 4+\frac{1}{6-\left | 2^{x}-3 \right |}.

Показать решение

Решение

Пусть \left | 2^{x}-3 \right |=t, тогда получаем неравенство t \geq 4+\frac{1}{6-t}. Преобразуем последнее неравенство: 4-t+\frac{1}{6-t} \leq 0; \frac{t^{2}-10t+25}{6-t} \leq 0; \frac{(t-5)^{2}}{6-t} \leq 0.

Используя метод интервалов, найдем решения неравенства с переменной t: t=5 или t > 6. Отсюда \left | 2^{x}-3 \right |=5 или \left | 2^{x}-3 \right | > 6.

Пусть 2^{x}=a, решим уравнение и неравенство с модулем. Из уравнения \left | a-3 \right |=5 получаем \left[\!\!\begin{array}{l} a-3 = 5, \\  a - 3= -5; \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\!\!\begin{array}{l} a = 8, \\ a = -2. \end{array}\right.

Далее \left[\!\!\begin{array}{l} 2^{x}=8 \\  2^{x}=-2; \end{array}\right. \Leftrightarrow x=3. Модуль \left | a-3 \right | есть расстояние на координатной оси от точки a до точки 3.

Для решения неравенства \left | a-3 \right | > 6 необходимо найти такие точки, расстояние от которых до точки 3 больше 6. Справа от точки 3 расположена точка 9 на расстоянии 6 единиц, а слева — точка (-3). Поэтому из неравенства

\left | a-3\right | > 6 получаем a < -3 или a > 9. Далее \left[\!\!\begin{array}{l} 2^{x} < -3, \\ 2^{x} > 9; \end{array}\right.\: \Leftrightarrow \: 2^{x} > 2^{\log_{2}9} \Leftrightarrow \: x > \log _{2}9.

Ответ

\left \{3  \right \} \cup (\log_{2}9; +\infty)

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №192

Тип задания: 15
Тема: Показательные неравенства

Условие

Решите неравенство \frac{7}{(2^{3-x^2}-1)^2}-\frac{8}{2^{3-x^2}-1}+1\geqslant 0.

Показать решение

Решение

Пусть t=2^{3-x^2}-1, тогда неравенство примет вид:

\frac{t^2-8t+7}{t^2}\geqslant 0, \frac{(t-1)(t-7)}{t^2}\geqslant 0, откуда t<0; 0<t\leqslant 1; t\geqslant 7.

При t<0 получим: 2^{3-x^2}-1<0; 3-x^2<0, откуда x<-\sqrt{3}; x>\sqrt{3}.

При 0<t\leqslant 1 получим: 0<2^{3-x^2}-1\leqslant 1; 0<3-x^2\leqslant 1, откуда -\sqrt{3}<x\leqslant -\sqrt{2};\sqrt{2}\leqslant x< \sqrt{3}.

При t\geqslant 7 получим: 2^{3-x^2}-1\geqslant 7; 3-x^2\geqslant 3, откуда x=0.

Решением исходного неравенства будет

x<-\sqrt{3}; -\sqrt{3}<x\leqslant -\sqrt{2}; x=0; \sqrt{2}\leqslant x<\sqrt{3}; x>\sqrt{3}

Ответ

(-\infty ; -\sqrt{3}); (-\sqrt{3}; -\sqrt{2}]; 0; [\sqrt{2};\sqrt{3}); (\sqrt{3}; +\infty )

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №169

Тип задания: 15
Тема: Показательные неравенства

Условие

Решите неравенство: \frac{4^x+2}{4^x-8}+\frac{4^x}{4^x-4}+\frac{8}{16^x-12\cdot 4^x+32}\leq 0.

Показать решение

Решение

Пусть 4^x=t, тогда имеем: \frac{t+2}{t-8}+\frac{t}{t-4}+\frac{8}{t^2-12t+32}\leq 0.

Разложим многочлен t^2-12t+32 на множители: 

t^2-12t+32=0,

t_1=8, t_2=4,

t^2-12t+32=(t-8)(t-4).  Получили: 

\frac{t+2}{t-8}+\frac{t}{t-4}+\frac{8}{(t-8)(t-4)}\leq 0

Приводим левую часть к общему знаменателю: 

\frac{(t+2)(t-4)+t(t-8)+8}{(t-8)(t-4)}\leq 0 .

Раскроем скобки и приведем подобные: 

\frac{t^2+2t-4t-8+t^2-8t+8}{(t-8)(t-4)}\leq 0 ,

\frac{2t^2-10t}{(t-8)(t-4)}\leq 0 ,

\frac{2t(t-5)}{(t-8)(t-4)}\leq 0 .

Решаем неравенство методом интервалов.

ОДЗ: (t-8)(t-4)\neq 0 \Rightarrow t\neq 8, t\neq 4 .

Нули дроби: 2t(t-5)=0 \Rightarrow t=0, t=5

Метод интервалов

 0\leq t< 4 или 5\leq t< 8 

Если  0\leq t< 4, то  0\leq 4^x< 4, 4^x<4^1, x<1

Если  5\leq t< 8 , то 5\leq 4^x< 8, \log_4{5}\leq x < 1.5

Ответ

(-\infty ; 1) \cup  [ log_4{5}; 1.5  )

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №166

Тип задания: 15
Тема: Показательные неравенства

Условие

Решите неравенство \frac{3}{(2^{2-x^{x}}-1)^{2}}-\frac{4}{2^{2-x^{x}}-1}+1\geq 0.

Показать решение

Решение

Пусть y=2^{2-x^{x}}-1, тогда неравенство примет вид:

\frac{y^{2}-4y+3}{y^{2}}\geq 0\frac{(y-1)(y-3)}{y^{2}}\geq 0,

откуда y< 0;\:  0< y\leq;\:y\geq 3.

При y< 0 получим: 2^{2-x^{x}}-1< 0;\enspace 2-x^{2}< 0, откуда x< -\sqrt{2};\enspace x> \sqrt{2}.

При 0< y\leq 1 получим: 0< 2^{2-x^{2}}-1\leq 1;\enspace 0< 2-x^{2}\leq 1, откуда -\sqrt{2}< x\leq -1;\enspace1\leq x< \sqrt{2}.

При y\geq 3 получим: 2^{2-x^{x}}-1\geq 3;\enspace 2-x^{2}\geq 2, откуда x=0.

Решение исходного неравенства:

x< -\sqrt{2}-\sqrt{2}< x\leq 1; x=0; 1\leq x< \sqrt{2}x> \sqrt{2}.

Ответ

(-\infty ; -\sqrt{2}); (-\sqrt{2}; -1]; 0; [ 1; \sqrt{2}); (\sqrt{2}; +\infty ).

Источник: «Математика ЕГЭ 2016. Типовые тестовые задания». Под ред. И. В. Ященко.