Задания по теме «Прикладные задачи»

Открытый банк заданий по теме прикладные задачи. Задания B10 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №937

Тип задания: 10
Тема: Квадратные уравнения

Условие

Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью v_0 = 12 м/с, начал торможение с постоянным ускорением a = 4 м/с2. После начала торможения за t секунд автомобиль преодолел расстояние S=v_0t-\frac{at^2}{2} (м). Сколько секунд прошло с момента начала торможения, если за это время автомобиль проехал 16 метров?

Показать решение

Решение

Подставим данные задачи в формулу S=v_0t-\frac{at^2}{2}.

16=12t-\frac{4t^2}{2},

t^2-6t+8=0,

t_1=4,\,t^2=2.

С помощью формулы скорости при равнозамедленном движении v=v_0-at найдём время движения автомобиля до остановки: v=0, v_0=12 м/с, a=4 м/с2; 0=12-4t, откуда t=3. Итак, автомобиль остановится через 3 секунды после начала торможения.

Учитывая, что t\leqslant3, получим, что от момента начала торможения прошло 2 секунды.

Ответ

2
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №936

Тип задания: 10
Тема: Рациональные уравнения

Условие

По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна I=\frac{\varepsilon}{R+r}, где \varepsilon — ЭДС источника (в вольтах), r = 2 Ом — его внутреннее сопротивление, R — сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более 40% от силы тока короткого замыкания Iкз = \frac{\varepsilon}{r}? Ответ выразите в омах.

Показать решение

Решение

Решим неравенство I\leqslant0,4\cdot Iкз при условии, что r=2 Ом.

\frac{\varepsilon}{R+r}\leqslant0,4\cdot\frac{\varepsilon}{r},

\frac{1}{R+2}\leqslant\frac{4}{10\cdot2},

\frac{1}{R+2}\leqslant\frac15,

R\geqslant3.

Итак, наименьшее сопротивление цепи, при котором сила тока будет составлять не более 40% от силы тока короткого замыкания, равно 3 Ом.

Ответ

3
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №935

Тип задания: 10
Тема: Рациональные уравнения

Условие

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой f_0 = 280 Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. В следствие движения тепловоза, частота второго гудка оказалась больше первого (эффект Доплера). Она зависит от скорости источника сигнала по закону: f(v)=\frac{f_0}{1-\dfrac vc} (Гц), где c — скорость звука (в м/с). Сигналист, стоящий на платформе, следит за движением тепловоза и успешно распознает сигналы, если они отличаются не менее чем на 7 Гц. Найдите наименьшую скорость приближающегося к платформе тепловоза, если сигналист смог различить издаваемые сигналы, а скорость звука равна 328 м/с. Ответ выразите в м/с.

Показать решение

Решение

Решим неравенство f(v)-f_0\geqslant7, используя условие v<328.

\frac{f_0}{1-\dfrac vc}-f_0\geqslant7,

\frac{280}{1-\dfrac{v}{328}}-280\geqslant7,

\frac{1}{1-\dfrac{v}{328}}-1\geqslant\frac{1}{40},

\frac{1}{1-\dfrac{v}{328}}\geqslant\frac{41}{40},

1-\frac{v}{328}\leqslant\frac{40}{41},

\frac{v}{328}\geqslant\frac{1}{41},

v\geqslant8.

Следовательно, минимальная скорость тепловоза равна 8 м/с.

Ответ

8
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №934

Тип задания: 10
Тема: Квадратные уравнения

Условие

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t)=1+8t-5t^2, где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее четырёх метров?

Показать решение

Решение

Решим относительно t неравенство h(t)\geqslant4.

-5t^2+8t+1\geqslant4,

5t^2-8t-1\leqslant-4,

5t^2-8t+3\leqslant0.

Найдем корни уравнения 5t^2-8t+3=0:

t_{1,2}=\frac{4\pm1}{5},

t_1=\frac35,\,t_2=1;

5\left ( t-\frac35 \right ) \left ( t-1 \right )\leqslant0, откуда \frac35\leqslant t\leqslant1. Мяч будет находиться на высоте не мене четырех метров в течение 1-\frac35=\frac25=0,4 секунды.

Ответ

0,4
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №933

Тип задания: 10
Тема: Рациональные уравнения

Условие

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 149 МГц. Скорость погружения батискафа равна 10 м/с и вычисляется по формуле v=c\cdot\frac{f-f_0}{f+f_0}, где

c = 1500 м/с — скорость звука в воде,

f_0 — частота импульсов, испускаемых локатором (в МГц),

f — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц).

Определите частоту отражённого от дна сигнала. Ответ укажите в МГц.

Показать решение

Решение

Подставим в формулу v=c\cdot\frac{f-f_0}{f+f_0} числовые данные c = 1500 м/с, v=10 м/с, f_0=149 МГц. Получим:

10=1500\cdot\frac{f-149}{f+149},

f+149=150f-150\cdot149,

149f=151\cdot149,

f=151.

Частота отражённого сигнала 151 МГц.

Ответ

151
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №932

Тип задания: 10
Тема: Тригонометрические уравнения

Условие

Небольшой мячик бросают под острым углом \alpha к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле L=\frac{v_0^2}{g}\sin2\alpha(м), где

v_0=15 м/с — начальная скорость мячика,

g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с2).

Определите минимальный угол броска мячика, при котором он сможет перелететь реку шириной 11,25 м. Ответ дайте в градусах.

Показать решение

Решение

Решим неравенство L\geqslant11,25.

\frac{v_0^2}{g}\sin2\alpha\geqslant\frac{45}{4},

\frac{15^2}{10}\sin2\alpha\geqslant\frac{45}{4},

\frac12\sin2\alpha\geqslant\frac14,

\sin2\alpha\geqslant\frac12.

Так как \alpha — острый угол, то 0<\alpha<\frac{\pi}{2},

0<2\alpha<\pi, тогда

\frac{\pi}{6}\leqslant2\alpha\leqslant\frac{5\pi}{6},

2\alpha\geqslant\frac{\pi}{6},

\alpha\geqslant\frac{\pi}{12}=15^{\circ}.

Ответ

15
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №931

Тип задания: 10
Тема: Иррациональные уравнения

Условие

Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землёй, выраженное в километрах, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле l=\sqrt{\frac{Rh}{500}}, где R = 6400 км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 3,2 км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до 4,8 километров?

Показать решение

Решение

Найдём высоту, на которой наблюдатель находился, подставив в формулу l=\sqrt{\frac{Rh}{500}} значения l=3,2, R=6400;

3,2=\sqrt{\frac{6400\cdot h}{500}}=\sqrt{\frac{64\cdot h}{5}},

\frac{32^2}{10^2}=\frac{64\cdot h}{5},

h=0,8 (м).

Найдём высоту, на которой наблюдатель видит горизонт на расстоянии 4,8 километра.

4,8=\sqrt{\frac{6400\cdot h}{500}}=\sqrt\frac{64\cdot h}{5},

\frac{48^2}{10^2}=\frac{64\cdot h}{5},

h=1,8 (м).

Найдём высоту, на которую нужно подняться наблюдателю: 1,8-0,8=1 (м).

Ответ

1
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №930

Тип задания: 10
Тема: Линейные уравнения

Условие

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле F_A=pgl^3, где

l — длина ребра куба в метрах,

p — плотность воды (p = 1000 кг/м3),

g — ускорение свободного падения (считайте g = 9,8 Н/кг).

Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем 264\,600 Н? Ответ выразите в метрах.

Показать решение

Решение

Решим неравенство F_A \leqslant 264\,600;\, 1000\cdot9,8\cdot l^3\leqslant264\,600,\, 98l^3\leqslant2646,\, l^3\leqslant27,\, l\leqslant3. Максимальная длина ребра куба равна 3 метрам.

Ответ

3
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №929

Тип задания: 10
Тема: Рациональные уравнения

Условие

Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу m = 1440 тонн, представляют собой две пустотелые балки длиной l = 16 метров и шириной s метров каждая. Давление экскаватора на почву измеряется в кПа (килопаскалях) и определяется формулой p=\frac{mg}{2ls}, где

m — масса экскаватора (в тоннах),

l — длина балок (в метрах),

s — ширина балок (в метрах),

g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с2).

Определите наименьшую допустимую ширину балок, если известно, что давление p не должно быть больше 225 кПа. Ответ выразите в метрах.

Показать решение

Решение

Решим неравенство p\leqslant225; \frac{mg}{2ls}\leqslant225, учитывая, что s>0.

\frac{1440\cdot10}{2\cdot16\cdot s}\leqslant225,

\frac{45\cdot10}{s}\leqslant225,

\frac{2}{s}\leqslant1,s\geqslant2.

Наименьшая возможная ширина опорных балок равна 2 метрам.

Ответ

2
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №928

Тип задания: 10
Тема: Линейные уравнения

Условие

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных изданий на основе показателей информативности In, оперативности Op и объективности Tr публикаций. Каждый показатель имеет целочисленное значение от -4 до 4. При составлении рейтинга учитывались следующие особенности: информативность публикаций ценится втрое, а ценность объективности вдвое больше, чем оперативности. На основе этих предположений формула рейтинга имеет вид: R=\frac{3In+Op+2Tr}{A}. При каком значении числа A издание имеющее все максимальные показатели получит рейтинг 48.

Показать решение

Решение

Выразив A из формулы R=\frac{3In+Op+2Tr}{A}, получим A=\frac{3In+Op+2Tr}{R}. Так как все показатели максимальны, то In=Op=Tr=4, откуда A=\frac{3\cdot4+4+2\cdot4}{48}=0,5.

Ответ

0,5
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.