Задания по теме «Применение производной к исследованию функций и построению графиков»

Открытый банк заданий по теме применение производной к исследованию функций и построению графиков. Задания B7 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №904

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-7; 4). В какой точке отрезка [-1; 3] функция f(x) принимает наибольшее значение?

График y=f'(x) — производной функции f(x) определённой на интервале (-7; 4)

Показать решение

Решение

Из графика видно, что производная f'(x) функции f(x) меньше нуля во всех точках промежутка [-1; 3]. Значит, на этом промежутке функция f(x) убывает. Поэтому наибольшее значение функции будет на левом конце промежутка, то есть в точке -1.

График y=f'(x) — производной функции f(x) с точками в которых она меньше нуля

Ответ

-1
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №903

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-5; 6). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

График функции y=f(x) на интервале (-5; 6)

Показать решение

Решение

Производная положительна в тех точках промежутков, на которых функция возрастает. Рассматривая график, находим четыре такие точки с целочисленными абсциссами: -2;-1; 0; 1.

График функции y=f(x) с целыми точками, в которых производная функции положительна

Ответ

4
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №901

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображён график функции y = f(x) и семь точек на оси абсцисс: x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна?

График функции y=f(x) и семь точек на оси абсцисс

Показать решение

Решение

Производная может быть положительной только в тех точках, которые принадлежат промежуткам возрастания функции (если только касательные в них не горизонтальны). Подходящих точек четыре: x_1, x_3, x_5, x_7.

График функции y=f(x) и точки, в которых производная положительная

Ответ

4
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №900

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на промежутке (-4; 6). Найдите количество решений уравнения f'(x) = 0.

График функции y=f(x) на промежутке (-4; 6)

Показать решение

Решение

Производная равна нулю в тех точках, в которых касательная к графику функции параллельна оси Ox. На заданном графике такими точками являются точки экстремума. Их на графике ровно 5.

График функции y=f(x) на промежутке (-4; 6) с точками экстремума

Ответ

5
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №305

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображен график y=f'(x) производной функции f(x) и отмечены семь точек на оси абсцисс: x_1,x_2,x_3,...,x_7. Сколько из этих точек принадлежат промежуткам возрастания функции f(x)?

График y=f'(x) производной функции f(x) с семью точками на оси абсцисс

Показать решение

Решение

Функция f(x) возрастает на тех промежутках, на которых ее производная положительна, а значит, необходимо выбрать те точки, которые находятся выше оси абсцисс. На рисунке видно, что этими точками являются: x_1,x_2,x_3,x_5,x_6. Их количество: 5.

График y=f'(x) с точками на промежутках возрастания функции f(x)

Ответ

5

Задание №302

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-7; 10). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

График производной функции f(x) на интервале (-7; 10)

Показать решение

Решение

По рисунку видим, что производная f'(x) меньше нуля на промежутке от 2 до 9.

График производной функции f(x) с промежутком убывания функции

Значит промежуток убывания функции будет от 2 до 9. Его длина равна 9-2=7.

Ответ

7

Задание №301

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображен график y=f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 11). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−7; 10].

График производной функции f(x) на интервале (-8; 11)

Показать решение

Решение

В точках максимума функции f(x) производная f'(x) равна нулю, т.е. в местах пересечения графика с осью Ox. В точках максимума график производной функции переходит из положительной области в отрицательную. На графике видно, что на отрезке [-7; 10] точками максимума являются x = 0 и x = 5. Их количество: 2.

График производной функции f(x) на интервале (-8; 11) с точками максимума на отрезке

Ответ

2

Задание №300

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-8; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

График функции y=f(x) определенной на интервале (-8; 8)

Показать решение

Решение

Производная функции положительна, если функция возрастает. По рисунку определяем целые точки, в которых функция возрастает: −6, −5, −4, −3, −2, −1, 4, 5, 6, 7.

Таких точек 10.

Ответ

10
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №102

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображены график функции y=f(x) и семь точек x_1, x_2,...,x_7. Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) отрицательна.

График дифференцируемой функции y=f(x)

Показать решение

Решение

Геометрический смысл производной объясняется тем, что производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику в этой точке. Как известно, тангенс угла меньше нуля тогда, когда угол тупой (угол, образованный между касательной с осью абсцисс – положительным направлением x). Таким образом, производная будет отрицателььной в точках, в которых функция убывает (см. рис.).

График дифференцируемой функции y=f(x)

На графике видно, что функция убывает в точках x_1, x_3, x_4, x_5, x_7. Их количество: 5.

Ответ

5

Задание №101

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображены график функции y=f(x) и пять точек x_1, x_2,...,x_5. Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) положительна.

График дифференцируемой функции y=f(x)

Показать решение

Решение

Геометрический смысл производной объясняется тем, что производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику в этой точке. Как известно, тангенс угла больше нуля тогда, когда угол острый (угол, образованный между касательной с осью абсцисс – положительным направлением x). Таким образом, производная будет положительной в точках, в которых функция возрастает (см. рис.).

График дифференцируемой функции y=f(x)

На графике видно, что функция возрастает в точках x_2 и x_5. Их количество: 2.

Ответ

2