Задания по теме «Производная и первообразная функции»

Открытый банк заданий по теме производная и первообразная функции. Задания B7 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №907

Тип задания: 7
Тема: Первообразная функции

Условие

На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=x^3+6x^2+13x-5 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь заштрихованной фигуры.

График функции y=f(x) с заштрихованной областью

Показать решение

Решение

Заштрихованная фигура является криволинейной трапецией, ограниченной графиком функции y=f(x) и прямыми y=0, x=-4 и x=-1. По формуле Ньютона-Лейбница её площадь S равна разности F(-1)-F(-4), где F(x) — указанная в условии первообразная функции f(x).

Поэтому S= F(-1)-F(-4)= (-1)^3+6(-1)^2+13(-1)-5-((-4)^3+6(-4)^2+13(-4)-5)= -13-(-25)=12.

Ответ

12
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №906

Условие

Прямая y=3x-7 является касательной к графику функции y=x^3+3x^2-6x-2. Найдите абсциссу точки касания.

Показать решение

Решение

Угловой коэффициент касательной к графику функции y=x^3+3x^2-6x-2 в произвольной точке x_0 равен y'(x_0). Но y'=3x^2+6x-6, значит, y'(x_0)=3x_0^2+6x_0-6. Угловой коэффициент касательной y=3x-7, указанной в условии, равен 3. Поэтому находим такое значение x_0, что 3x_0^2+6x_0-6=3, 3x_0^2+6x_0-9=0. По формулам корней квадратного уравнения получаем, что либо x_0=-3, либо x_0=1.

Заметим, что y(-3)= (-3)^3+3\cdot(-3)^2-6\cdot(-3)-2=16, а y(1)=1^3+3\cdot1^2-6\cdot1-2=-4. Получаем две возможные точки касания: (-3; 16); (1; -4). Выясним, через какую из них проходит касательная y=3x-7. Координаты точки (-3; 16) не удовлетворяют уравнению касательной, так как равенство 16=3\cdot(-3)-7 не является верным. Но равенство -4=3\cdot1-7 является верным. Поэтому касательная проходит через точку (1; -4) с абсциссой, равной 1.

Ответ

1
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №905

Условие

Прямая y=3x+2 является касательной к графику функции y=4x^2+7x+c. Найдите c.

Показать решение

Решение

Пусть (x_0; y_0) — точка, в которой прямая y=3x+2 касается графика функции y=4x^2+7x+c. Тогда угловой коэффициент касательной к графику функции y=4x^2+7x+c в точке x_0 равен y'(x_0). Но y'=8x+7, значит, y'(x_0)=8x_0+7. Угловой коэффициент касательной y=3x+2 указанной в условии, равен 3. Поэтому 8x_0+7=3.

Кроме того, точка (x_0; y_0) лежит на прямой y=3x+2 и на графике функции y=4x^2+7x+c. Значит, выполняется равенство y_0=3x_0+2=4x_0^2+7x_0+c. Получаем систему:

\begin{cases} 8x_0+7=3, \\ 3x_0+2=4x_0^2+7x_0+c; \end{cases}

\begin{cases} x_0=-0,5, \\ -4x_0^2-4x_0+2=c. \end{cases}

Отсюда, c=3.

Ответ

3
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №904

Условие

На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-7; 4). В какой точке отрезка [-1; 3] функция f(x) принимает наибольшее значение?

График y=f'(x) — производной функции f(x) определённой на интервале (-7; 4)

Показать решение

Решение

Из графика видно, что производная f'(x) функции f(x) меньше нуля во всех точках промежутка [-1; 3]. Значит, на этом промежутке функция f(x) убывает. Поэтому наибольшее значение функции будет на левом конце промежутка, то есть в точке -1.

График y=f'(x) — производной функции f(x) с точками в которых она меньше нуля

Ответ

-1
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №903

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-5; 6). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

График функции y=f(x) на интервале (-5; 6)

Показать решение

Решение

Производная положительна в тех точках промежутков, на которых функция возрастает. Рассматривая график, находим четыре такие точки с целочисленными абсциссами: -2;-1; 0; 1.

График функции y=f(x) с целыми точками, в которых производная функции положительна

Ответ

4
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №902

Условие

На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) параллельна прямой y=3x+2 или совпадает с ней.

График y=f'(x) — производной функции f(x)

Показать решение

Решение

Пусть x_0 — абсцисса точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) параллельна прямой y=3x+2 или совпадает с ней. Тогда значение производной y=f'(x) в точке x_0 равно 3, так как угловой коэффициент касательной y=3x+2 равен 3.

Но из графика видно, что f'(x) = 3 в единственной точке x_0=-1.

Действительно, прямая y=3 пересекает график функции y=f'(x) в единственной точке (-1; 3), абсцисса которой равна −1.

Ответ

-1
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №901

Условие

На рисунке изображён график функции y = f(x) и семь точек на оси абсцисс: x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна?

График функции y=f(x) и семь точек на оси абсцисс

Показать решение

Решение

Производная может быть положительной только в тех точках, которые принадлежат промежуткам возрастания функции (если только касательные в них не горизонтальны). Подходящих точек четыре: x_1, x_3, x_5, x_7.

График функции y=f(x) и точки, в которых производная положительная

Ответ

4
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №900

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на промежутке (-4; 6). Найдите количество решений уравнения f'(x) = 0.

График функции y=f(x) на промежутке (-4; 6)

Показать решение

Решение

Производная равна нулю в тех точках, в которых касательная к графику функции параллельна оси Ox. На заданном графике такими точками являются точки экстремума. Их на графике ровно 5.

График функции y=f(x) на промежутке (-4; 6) с точками экстремума

Ответ

5
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №899

Тип задания: 7
Тема: Физический смысл производной

Условие

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=\frac14t^3-4t^2+t, где

х — расстояние от точки отсчёта в метрах,

t — время в секундах, измеренное с начала движения.

Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 12 с.

Показать решение

Решение

Согласно физическому смыслу производной необходимо найти x'(12).

x'(t) = \frac34t^2-8t+1,

x'(12) = \frac34\cdot12^2-8\cdot12+1= 108-96+1=13.

Ответ

13
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №898

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x_0.

График функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0

Показать решение

Решение

По рисунку определяем, что касательная проходит через точки B(5; 3) и A(-3; 2).

Известно, что значение производной в точке x_0 равно уголовому коэффициенту касательной.

k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}= \frac{3-2}{5-(-3)}=\frac18=0,125.

График функции y=f(x) и касательная к нему с точками A и B

Ответ

0,125
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.