Задания по теме «Простейшие уравнения»

Открытый банк заданий по теме простейшие уравнения. Задания B5 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №887

Тип задания: 5
Тема: Логарифмические уравнения

Условие

Найдите корень уравнения 5^{\log_{25}(10x-8)}=8.

Показать решение

Решение

Найдем ОДЗ: 10x-8>0.

5^{\log_{25}(10x-8)}=5^{\log_58},

\log_{25}(10x-8)=\log_58,

\log_{5^2}(10x-8)=\log_58,

\frac12\log_5(10x-8)=\log_58,

\log_5(10x-8)=2\log_58,

\log_5(10x-8)=\log_58^2,

10x-8=64, значит, условие 10x-8>0 выполняется.

10x=72,

x=7,2.

Ответ

7,2
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №886

Условие

Найдите корни уравнения \cos\frac{\pi(x+5)}{6}=0,5. В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

Показать решение

Решение

\frac{\pi(x+5)}{6}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k, k\in \mathbb{Z}.

а) \frac{\pi(x+5)}{6}=\frac{\pi}{3}+2\pi k, \frac{x+5}{6}=\frac13+2k, x+5=2+12k, x=-3+12k.

Наибольший отрицательный корень данного вида x=-3.

б) \frac{\pi(x+5)}{6}=-\frac{\pi}{3}+2\pi k , \frac{x+5}{6}=-\frac13+2k, x+5=-2+12k, x=-7+12k.

Наибольший отрицательный корень данного вида x=-7.

Значит, наибольший отрицательный корень уравнения x=-3.

Ответ

-3
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №885

Тип задания: 5
Тема: Логарифмические уравнения

Условие

Найдите корень уравнения \log_3(28+4x)=\log_3(18-x).

Показать решение

Решение

28+4x=18-x,

5x=-10,

x=-2.

Сделаем проверку.

\log_3(28+4\cdot(-2))=\log_3(18-(-2)),

\log_3 20=\log_3 20. Верно, значит, x=-2 — корень уравнения.

Ответ

-2
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №884

Тип задания: 5
Тема: Показательные уравнения

Условие

Найдите корень уравнения 4^{4-x}=0,8\cdot5^{4-x}.

Показать решение

Решение

4^{4-x}=\frac45\cdot5^{4-x},

\frac{4^{4-x}}{5^{4-x}}=\frac45,

\left ( \frac45 \right )^{4-x}=\frac45,

4-x=1,

x=3.

Ответ

3
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №883

Тип задания: 5
Тема: Рациональные уравнения

Условие

Найдите корень уравнения x=\frac{3x-8}{x+9}. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Показать решение

Решение

\frac{x}{1}=\frac{3x-8}{x+9}, при x\neq-9 получим x(x+9)=3x-8,

x^2+6x+8=0,

x_{1,2}=-3\pm1,

x_1=-4,\;x_2=-2.

Больший из корней −2.

Ответ

-2
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №882

Тип задания: 5
Тема: Показательные уравнения

Условие

Найдите корень уравнения 2^{48-5x}=128.

Показать решение

Решение

2^{48-5x}=2^7,

48-5x=7,

-5x=-41,

x=8,2.

Ответ

8,2
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №881

Тип задания: 5
Тема: Иррациональные уравнения

Условие

Найдите корень уравнения \sqrt{-19x+20}=x. Если уравнение имеет более одного корня, запишите меньший из корней.

Показать решение

Решение

(\sqrt{-19x+20})^2=x^2,

-19x+20=x^2,

x^2+19x-20=0,

x_{1,2}=\frac{-19\pm\sqrt{19^2-4\cdot(-20)}}{2},

x_1=1,

x_2=-20.

Делаем проверку.

\sqrt{-19\cdot1+20}=1, это верно, значит, x=1 — корень уравнения.

\sqrt{-19\cdot(-20)+20}=-20, это неверно, значит, x=-20 — не является корнем уравнения.

Ответ

1
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №880

Тип задания: 5
Тема: Рациональные уравнения

Условие

Найдите корень уравнения \frac{16}{x^2-48}=1. Если уравнение имеет более одного корня, запишите меньший из корней.

Показать решение

Решение

Уравнения \frac{16}{x^2-48}=1 и x^2-48=16 равносильны x^2-48\neq0. Из последнего уравнения x^2=64,

x_1=-8, x_2=8. Меньший из корней равен −8.

Ответ

-8
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №879

Условие

Найдите корень уравнения x^2-19x+90=0.

Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Показать решение

Решение

x_{1,2}=\frac{19\pm\sqrt{19^2-4\cdot90}}{2},

x_1=9,

x_2=10.

Меньший из корней равен 9.

Ответ

9
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №878

Условие

Найдите корень уравнения \frac{5}{11}x=11\frac{4}{11}.

Показать решение

Решение

\frac{5}{11}x=\frac{125}{11},

x=\frac{125}{11}:\frac{5}{11},

x=\frac{125}{5},

x=25.

Ответ

25
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.