Задания по теме «Рациональные уравнения»

Открытый банк заданий по теме рациональные уравнения. Задания B10 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №936

Тип задания: 10
Тема: Рациональные уравнения

Условие

По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна I=\frac{\varepsilon}{R+r}, где \varepsilon — ЭДС источника (в вольтах), r = 2 Ом — его внутреннее сопротивление, R — сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более 40% от силы тока короткого замыкания Iкз = \frac{\varepsilon}{r}? Ответ выразите в омах.

Показать решение

Решение

Решим неравенство I\leqslant0,4\cdot Iкз при условии, что r=2 Ом.

\frac{\varepsilon}{R+r}\leqslant0,4\cdot\frac{\varepsilon}{r},

\frac{1}{R+2}\leqslant\frac{4}{10\cdot2},

\frac{1}{R+2}\leqslant\frac15,

R\geqslant3.

Итак, наименьшее сопротивление цепи, при котором сила тока будет составлять не более 40% от силы тока короткого замыкания, равно 3 Ом.

Ответ

3
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №935

Тип задания: 10
Тема: Рациональные уравнения

Условие

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой f_0 = 280 Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. В следствие движения тепловоза, частота второго гудка оказалась больше первого (эффект Доплера). Она зависит от скорости источника сигнала по закону: f(v)=\frac{f_0}{1-\dfrac vc} (Гц), где c — скорость звука (в м/с). Сигналист, стоящий на платформе, следит за движением тепловоза и успешно распознает сигналы, если они отличаются не менее чем на 7 Гц. Найдите наименьшую скорость приближающегося к платформе тепловоза, если сигналист смог различить издаваемые сигналы, а скорость звука равна 328 м/с. Ответ выразите в м/с.

Показать решение

Решение

Решим неравенство f(v)-f_0\geqslant7, используя условие v<328.

\frac{f_0}{1-\dfrac vc}-f_0\geqslant7,

\frac{280}{1-\dfrac{v}{328}}-280\geqslant7,

\frac{1}{1-\dfrac{v}{328}}-1\geqslant\frac{1}{40},

\frac{1}{1-\dfrac{v}{328}}\geqslant\frac{41}{40},

1-\frac{v}{328}\leqslant\frac{40}{41},

\frac{v}{328}\geqslant\frac{1}{41},

v\geqslant8.

Следовательно, минимальная скорость тепловоза равна 8 м/с.

Ответ

8
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №933

Тип задания: 10
Тема: Рациональные уравнения

Условие

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 149 МГц. Скорость погружения батискафа равна 10 м/с и вычисляется по формуле v=c\cdot\frac{f-f_0}{f+f_0}, где

c = 1500 м/с — скорость звука в воде,

f_0 — частота импульсов, испускаемых локатором (в МГц),

f — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц).

Определите частоту отражённого от дна сигнала. Ответ укажите в МГц.

Показать решение

Решение

Подставим в формулу v=c\cdot\frac{f-f_0}{f+f_0} числовые данные c = 1500 м/с, v=10 м/с, f_0=149 МГц. Получим:

10=1500\cdot\frac{f-149}{f+149},

f+149=150f-150\cdot149,

149f=151\cdot149,

f=151.

Частота отражённого сигнала 151 МГц.

Ответ

151
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №929

Тип задания: 10
Тема: Рациональные уравнения

Условие

Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу m = 1440 тонн, представляют собой две пустотелые балки длиной l = 16 метров и шириной s метров каждая. Давление экскаватора на почву измеряется в кПа (килопаскалях) и определяется формулой p=\frac{mg}{2ls}, где

m — масса экскаватора (в тоннах),

l — длина балок (в метрах),

s — ширина балок (в метрах),

g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с2).

Определите наименьшую допустимую ширину балок, если известно, что давление p не должно быть больше 225 кПа. Ответ выразите в метрах.

Показать решение

Решение

Решим неравенство p\leqslant225; \frac{mg}{2ls}\leqslant225, учитывая, что s>0.

\frac{1440\cdot10}{2\cdot16\cdot s}\leqslant225,

\frac{45\cdot10}{s}\leqslant225,

\frac{2}{s}\leqslant1,s\geqslant2.

Наименьшая возможная ширина опорных балок равна 2 метрам.

Ответ

2
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №325

Тип задания: 10
Тема: Рациональные уравнения

Условие

Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле A(\omega)=\frac{A_0\omega_p^2}{|\omega_p^2-\omega^2|}, где

\omega — частота вынуждающей силы (в с−1);

A_0 — постоянное положительное значение;

\omega_p=420 с−1 — резонансная частота.

Найдите максимальную частоту \omega, меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину A_0 не более, чем на \frac{1}{24} от A_0. Ответ выразите в c−1.

Показать решение

Решение

По условию искомая частота \omega<420, поэтому 420^2-\omega^2>0,\; |420^2-\omega^2|=420^2-\omega^2.

Кроме того, согласно условию,

\frac{A_0\cdot420^2}{420^2-\omega^2}-A_0\leq\frac{1}{24}A_0.

Так как A_0>0, то получаем неравенство

\frac{420^2}{420^2-\omega^2}-1\leq\frac{1}{24},

\frac{420^2}{420^2-\omega^2}\leq1+\frac{1}{24}=\frac{25}{24}.

Отсюда, 420^2\cdot24\leq420^2\cdot25-\omega^2\cdot25,

420^2\cdot25-420^2\cdot24\geq\omega^2\cdot25,

420^2(25-24)\geq\omega^2\cdot25,

420^2\geq\omega^2\cdot25,

\omega^2\leq\frac{420^2}{5^2}=\left (\frac{420}{5} \right )^2,

\omega\leq84.

Максимальное значение \omega=84.

Ответ

84
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №322

Тип задания: 10
Тема: Рациональные уравнения

Условие

Звуковой сигнал издаваемый источником распространяется в некоторой среде и регистрируется приемником. Источник и приемник начали перемещать по прямой линии навстречу друг другу, при этом частота сигнала изменилась. Частота исходного сигнала равнаf_0=250 Гц. Частота сигнала в момент перемещения источника и приемника определяется по формуле: f=f_0\frac{c+u}{c-v} (Гц), где

c — скорость распространения сигнала (в м/с);

u=20 м/с и v=5 м/с — скорости приемника и источника соответственно.

Определите максимальную скорость распространения сигнала в среде c (в м/с) при которой приемник f будет регистрировать его с частотой не менее 270 Гц?

Показать решение

Решение

f\geq270;\; f_0\frac{c+u}{c-v}\geq270;\; 250\cdot\frac{c+20}{c-5}\geq270;\; c+20\geq\frac{27}{25}(c-5) при c>5;\; \left ( \frac{27}{25}-1 \right )c\leq20+5\cdot\frac{27}{25};\; c\leq\left ( 20+\frac{27}{5} \right )\cdot\frac{25}{2}=\frac{127\cdot5}{2};\; c\leq317,5.

Значит, максимальная скорость распространения сигнала в среде c=317,5 (м/с).

Ответ

317,5
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №62

Тип задания: 10
Тема: Рациональные уравнения

Условие

Эхолот научно-исследовательской подводной лодки, которая вертикально погружается в воду, испускает ультразвуковые импульсы, которые имеют частоту 299 МГц. Скорость погружения не превышает 5 м/с и определяется формулой:

v= c \cdot \frac{f-f_{0}}{f+f_{0}}, где

v — скорость погружения подводной лодки;

c = 1500 м/с — скорость звука в воде;

f0 — частота импульсов, испускаемых эхолотом (МГц);

f — частота сигнала, который отразился от дна (МГц).

Найдите максимально возможную частоту сигнала f после отражения от дна. Ответ укажите в МГц.

Показать решение

Решение

Т.к. скорость батискафа не превышает 5 м/с, получаем выражение

v \geqslant  c \cdot \frac{f-f_{0}}{f+f_{0}}

5 \geqslant  1500 \cdot \frac{f-299}{f+299}

\frac{5}{1500} \geqslant \frac{f-299}{f+299}

\frac{1}{300} \geqslant \frac{f-299}{f+299}

300 \geqslant \frac{f+299}{f-299}

\frac{f+299}{f-299}\leqslant 300

f+299\leqslant 300\cdot f-299\cdot 300

299\cdot f\leqslant 299+299\cdot 300

f\leqslant 1+300

f\leqslant 301 (МГц).

Ответ

301

Задание №58

Тип задания: 10
Тема: Рациональные уравнения

Условие

Собирающая линза с фокусным расстоянием f = 30 см дает четкое увеличенное изображение на экран, если выполняется условие: \frac{1}{d_{1}} + \frac{1}{d_{2}} = \frac{1}{f}, где

d1 – расстояние от предмета до линзы (см);

d2 – расстояние от экрана до линзы (см);

f – фокусное расстояние (см).

Расстояние между экраном и линзой d2 может варьироваться от 90 до 120 см.

Найдите минимальное расстояние от предмета до линзы, чтобы его изображение на экране оставалось четким. Ответ укажите в сантиметрах.

Показать решение

Решение

Выразим d1 из соотношения, при выполнении которого увеличенное изображение будет чётким:

\frac{1}{d_{1}} + \frac{1}{d_{2}} = \frac{1}{f}

\frac{1}{d_{1}} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d_{2}}

Приводим правую часть к общему знаменателю и выражаем d1:

\frac{1}{d_{1}}  = \frac{d_{2}-f}{f\cdot d_{2}}

d_{1}  = \frac{f\cdot d_{2}}{d_{2}-f}

Определим, какое расстояние d1 будет при граничных значениях d2 (d2 = 90 см и d2 = 120 см) и найдем среди них наименьшее. Фокусное расстояние линзы f = 30 см.

Для d2 = 120 см получим:

d_{1}  = \frac{30 \cdot 120}{120-30} = \frac{30 \cdot 120}{90} = 40 см

Для d2 = 90 см:

d_{1}  = \frac{30 \cdot 90}{90-30} = \frac{30 \cdot 90}{60} = 45 см

Наименьшее из них – 40 см.

Ответ

40