Задания по теме «Сложение и умножение вероятностей событий»

Открытый банк заданий по теме сложение и умножение вероятностей событий. Задания B4 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №872

Тип задания: 4
Тема: Сложение и умножение вероятностей событий

Условие

На экзамене по литературе школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что этот вопрос на тему «Творчество Пушкина», равна 0,15. Вероятность того, что этот вопрос на тему «Творчество Лермонтова», равна 0,21. Вопросов, содержащих сразу две темы нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику попадётся вопрос по одной из этих двух тем.

Показать решение

Решение

Пусть событие A означает, что школьнику достался вопрос по теме «Творчество Пушкина», событие B — вопрос по теме «Творчество Лермонтова». По условию P(A) = 0,15, P(B) = 0,21.

По условию события A и B несовместны. Искомая вероятность события «школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем» равна P(A\cup B) = P(A) + P(B) = 0,15 + 0,21 = 0,36.

Ответ

0,36
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №278

Тип задания: 4
Тема: Сложение и умножение вероятностей событий

Условие

На южном острове погода бывает двух типов: отличная и хорошая. На этом острове погода стабильная, то есть установившись утром она не изменяется весь день. Синоптики предвещают туристам, что завтра погода будет такой же, какой была сегодня с вероятностью 0,6. Сегодня 18 июля и погода хорошая. Найдите вероятность того, что 21 июля погода на острове будет отличной.

Показать решение

Решение

Так как 18 июля погода хорошая, то 19 июля с вероятностью 0,6 погода хорошая, а с вероятностью 0,4 отличная.

Согласно условию, если 19 июля погода хорошая, то 20 июля вероятность хорошей погоды (как вероятность произведения) будет равна 0,6\cdot0,6=0,36, а вероятность отличной погоды равна 0,6\cdot0,4=0,24.

Аналогично, если 19 июля погода отличная, то с вероятностью 0,4\cdot0,6=0,24 она будет отличной и 20 июля. Хорошей 20 июля погода в этом случае будет с вероятностью 0,4\cdot0,4=0,16.

Далее рассуждая аналогично, получаем схему:

Схема распределения вероятностей наступления типа погоды

Вероятность отличной погоды 21 июля будет (как вероятность суммы) равна 0,144+0,144+0,064+0,144=0,496.

Ответ

0,496
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №277

Тип задания: 4
Тема: Сложение и умножение вероятностей событий

Условие

Тренеры спортивных команд по волейболу тянут жребий, чтобы определить, право владения мячом в начале игры. Команда «Дружба» будет поочередно встречаться с командами «Мир», «Союз» и «Труд». Найдите вероятность того, что команда «Дружба» выиграет жеребьевку в первой и последней встрече.

Показать решение

Решение

Вероятность команды «Дружба» начать игру в любой встрече равна 0,5. Значит, вероятность начать первую и третью игру равна 0,5\cdot 0,5, а вероятность того, что при этом вторую игру команда не будет начинать, равна 0,5\cdot 0,5\cdot 0,5=0,125.

Ответ

0,125
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №276

Тип задания: 4
Тема: Сложение и умножение вероятностей событий

Условие

На рисунке изображен лабиринт. По лабиринту движется лошадь, начиная свое движение из точки «Вход». Не возвращаясь обратно по пройденному пути, лошадь движется вперед, выбирая случайным образом одно из направлений на каждом разветвлении. Определите, с какой вероятностью лошадь выйдет из лабиринта в точке B.

Лабиринт, по которому движется лошадь случайным образом

Показать решение

Решение

На каждом из разветвлений лошадь выбирает одно направление из двух возможных. Всего выбор направления делается 4 раза, каждый раз независимо от предыдущего выбора. Вероятность того, что каждый раз выбирается один путь из двух, а разветвлений 4, равна \frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac{1}{16}=0,0625.

Ответ

0,0625
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №273

Тип задания: 4
Тема: Сложение и умножение вероятностей событий

Условие

На экзамене по литературе ученику случайным образом достается один вопрос из списка. Вероятность того, что этот вопрос на тему «Проза XIX века», равна 0,28. Вероятность того, что этот вопрос на тему «Проза XX века», равна 0,15. В списке вопросов нет таких, в которых содержатся сразу две темы. Найдите вероятность того, что ученику попадется вопрос с одной из этих двух тем.

Показать решение

Решение

Пусть событие A означает, что ученику на экзамене достался вопрос по теме «Проза XIX века», событие B — вопрос по теме «Проза XX века». По условию P(A)=0,28, P(B)=0,15 и события A и B несовместны. Искомая вероятность равна P(A\cup B)=P(A)+P(B)=0,28+0,15=0,43.

Ответ

0,43
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №24

Тип задания: 4
Тема: Сложение и умножение вероятностей событий

Условие

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,7, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то вероятность того, что он попадет равна 0,3. На столе лежат 10 револьверов, из которых только 2 пристрелянные. Ковбой Джон берет первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Показать решение

Решение

Ковбой Джон промахнется только при возникновении одного из следующих событий:

  • событие A — ковбой Джон промахнется из пристрелянного револьвера
  • событие B — ковбой Джон промахнется из непристрелянного револьвера

Событие A возникает в том случае, когда Джон схватит пристреленный револьвер, т.е. вероятность равна \frac{2}{10} и если Джон промахнется из него, т.е. вероятность равна 1 − 0,7.

Значит вероятность возникновения события A равна:

P(A)=\frac{2}{10}\cdot (1-0,7)=\frac{2}{10}\cdot \frac{3}{10}=\frac{6}{100}=0,06

Событие B возникает в том случае, когда Джон схватит пристреленный револьвер, т.е. вероятность равна \frac{8}{10} и если Джон промахнется из него, т.е. вероятность равна 1 − 0,3.

Значит вероятность возникновения события B равна:

P(B)=\frac{8}{10}\cdot (1-0,3)=\frac{8}{10}\cdot \frac{7}{10}=\frac{56}{100}=0,56

Джон промахнется, если произойдет или событие A или событие B, следовательно ответом будет являться сумма этих событий:

P=P(A)+P(B)=0,06+0,56=0,62

Ответ

0,62

Задание №21

Тип задания: 4
Тема: Сложение и умножение вероятностей событий

Условие

Гелием наполняются два воздушных шара. Вероятность того, что один воздушный шар лопнет в течение месяца составляет 0,2. Найдите вероятность того, что в течение месяца хотя бы один шар не лопнет.

Показать решение

Решение

Вероятность того, что в течение месяца не лопнет хотя бы один шар противоположна вероятности того, что в течение месяца лопнут два шара. Найдем эту вероятность.

Наступление событий, при которых лопается шар не оказывает влияния друг на друга, а значит эти события являются независимыми. Мы знаем, что вероятность одновременного наступления двух (и более) независимых событий равна произведению их вероятностей.

Таким образом вероятность того, что лопнут два шара равна:

0,2 · 0,2 = 0,04

Найдем искомую вероятность: 

1 − 0,04 = 0,96

Ответ

0,96