Задания по теме «Степенные функции»

Открытый банк заданий по теме степенные функции. Задания B12 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №951

Тип задания: 12
Тема: Степенные функции

Условие

Найдите точку максимума функции y=(x+7)^2(x-6)+11.

Показать решение

Решение

Найдём производную исходной функции, используя формулу производной произведения:

y'= \left ( (x+7)^2 \right )'(x-6)+(x+7)^2(x-6)'+(11)'= 2(x+7)(x-6)+(x+7)^2= (x+7)(2x-12+x+7)= (x+7)(3x-5).

Отыщем нули производной:

y'(x)=0;

(x+7)(3x-5)=0,

x_1=-7,\,x_2=\frac53.

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции.

Поведение функции на числовой оси со знаками производной

Из рисунка видно, что x=-7 является единственной точкой максимума.

Ответ

-7
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №949

Тип задания: 12
Тема: Степенные функции

Условие

Найдите точку максимума функции y= 2x^3+40x^2+200x+79.

Показать решение

Решение

Найдём производную исходной функции: y'(x)=6x^2+80x+200.

Найдём нули производной из уравнения y'(x)=0;

6x^2+80x+200=0;

3x^2+40x+100=0,

x_{1,2}=\frac{-20\pm\sqrt{20^2-3\cdot100}}{3}=\frac{-20\pm10}{3}. Отсюда x_1=-10, x_2=-\frac{10}{3}.

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции.

Поведение функции на числовой оси со знаками производной

Из рисунка видно, что значение x=-10 является единственной точкой максимума.

Ответ

-10
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №122

Тип задания: 12
Тема: Степенные функции

Условие

Найдите точку максимума функции y=(x-7)^2(x+8)+29.

Показать решение

Решение

Вычислим производную функции.

y'=2(x-7)(x+8)+(x-7)^2

y'=(x-7)(2(x+8)+(x-7))=(x-7)(3x+9)

Найдем точки, в которых производная функции обращается в нуль.

(x-7)(3x+9)=0

x_1=7; \enspace x_2=-3

На числовой оси расставим знаки производной и посмотрим как ведет себя функция

Поведение функции на числовой оси со знаками производной

При переходе через точку x = −3 производная меняет знак с плюса на минус. Значит x = −3 – точка максимума функции.

Ответ

-3

Задание №121

Тип задания: 12
Тема: Степенные функции

Условие

Найдите точку минимума функции y=\frac23x^{\tfrac32}-5x+24.

Показать решение

Решение

Вычислим производную функции.

y'=\frac23\cdot\frac32\cdot x^{\tfrac12}-5=x^{\tfrac12}-5

Найдем точки, в которых производная функции обращается в нуль.

x^{\tfrac12}-5=0

x^{\tfrac12}=5

x=25

На числовой оси расставим знаки производной и посмотрим как ведет себя функция.

Поведение функции на числовой оси со знаками производной

При переходе через точку x = 25 производная меняет знак с минуса на плюс. Значит x = 25 – точка минимума функции.

Ответ

25

Задание №120

Тип задания: 12
Тема: Степенные функции

Условие

Найдите наибольшее значение функции y=x^5-5x^3-20x на отрезке [−3; 1].

Показать решение

Решение

Вычислим производную функции.

y'=5x^4-15x^2-20

Найдем точки, в которых производная функции обращается в нуль.

5x^4-15x^2-20=0

x^4-3x^2-4=0

Сделаем замену y = x^2 и решим квадратное уравнение.

y^2-3y-4=0

D=9-4\cdot (-4)=25

y_1=\frac{3+5}{2}=4

y_2=\frac{3-5}{2}=-1 

Сделаем обратную замену:

x^2 = -1 – не принадлежит множеству действительных чисел.

x^2=4

x=\pm2

На отрезке [−3; 1] лежит только одна точка −2.

На числовой оси отложим граничные точки отрезка и точку экстремума и посмотрим как ведет себя функция.

Граничные точки отрезка и точка экстремума на числовой оси

При переходе через точку x = −2 производная меняет знак с плюса на минус. Значит x = −2 – точка максимума функции.

Найдем наибольшее значение функции в точке x = −2.

y(-2)=(-2)^5-5(-2)^3+40=48

Наибольшее значение функции равно 48.

Ответ

48