Задания по теме «Трапеция»

Открытый банк заданий по теме трапеция. Задания B6 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №895

Тип задания: 6
Тема: Трапеция

Условие

Основания равнобедренной трапеции равны 15 и 43. Косинус острого угла трапеции равен 0,7. Найдите боковую сторону.

Показать решение

Решение

Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD, в которой BC=15, AD=43 — основания, AB=CD.

равнобедренная трапеция ABCD с высотами CK и BH

Проведём высоты CK и BH. BCKH — прямоугольник, BC=KH=15. Треугольники ABH и DCK равны по гипотенузе и острому углу, откуда AH=KD=(43-15):2=14. Треугольник ABH прямоугольный, \cos A=\frac{AH}{AB}. Боковая сторона трапеции AB=AH:\cos A=14:0.7=20.

Ответ

20
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №888

Тип задания: 6
Тема: Трапеция

Условие

Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 16 и 22, большая боковая сторона составляет с основанием угол 45^{\circ}.

Показать решение

Решение

Рассмотрим прямоугольную трапецию ABCD с основаниями BC=16 и AD=22, \angle A=90^{\circ}, \angle D=45^{\circ}. Проведём высоту CH. ABCH — прямоугольник, BC=AH=16, тогда HD=22-16=6.

Прямоугольная трапеция ABCD с высотой CH

Треугольник CDH прямоугольный и равнобедренный (т.к. \angle CHD=90^{\circ}, \angle HCD=45^{\circ}=\angle D). HD=HC=6.

Площадь трапеции S=\frac{BC+AD}{2}\cdot CH=\frac{16+22}{2}\cdot6=114.

Ответ

114
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №297

Тип задания: 6
Тема: Трапеция

Условие

Основания равнобедренной трапеции равны 9 и 53. Тангенс острого угла равен \frac{6}{11}. Найдите высоту трапеции.

Показать решение

Решение

Рассмотрим рисунок:

Равнобедренная трапеция

BK\perp AD и CM\perp AD, тогда AK=MD=\frac{53-9}{2}=22.

\frac{BK}{AK}=tg\angle BAK=\frac{6}{11}, поэтому BK=AK\cdot\frac{6}{11}=22\cdot\frac{6}{11}=12.

Ответ

12
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №293

Тип задания: 6
Тема: Трапеция

Условие

Основания прямоугольной трапеции имеют длины 4 и 8. Ее большая сторона с основанием образуют угол равный 45^{\circ}. Найдите площадь трапеции.

Прямоугольная трапеция

Показать решение

Решение

Пусть CH — высота трапеции ABCD. Тогда в прямоугольном треугольнике CHD острый угол CHD = 45^{\circ}. Значит, этот треугольник равнобедренный, то есть CH=DH=AD-BC=8-4=4.

Прямоугольная трапеция с высотой

Тогда S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot CH=\frac{8+4}{2}\cdot4=24.

Ответ

24
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.