Задания по теме «Треугольник общего вида»

Открытый банк заданий по теме треугольник общего вида. Задания B6 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №894

Тип задания: 6
Тема: Треугольник общего вида

Условие

В тупоугольном треугольнике ABC AC=BC=50, AH — высота, CH=40. Найдите \cos ACB.

Показать решение

Решение

\angle ACB=180^{\circ}-\angle ACH, поэтому \cos\angle ACB=-\cos\angle ACH=-\frac{CH}{AC}.

Тупоугольный треугольник ABC с высотой AH

По условию CH=40, AC=50.

\cos\angle ACB=-\frac{40}{50}=-0,8

Ответ

-0,8
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №889

Тип задания: 6
Тема: Треугольник общего вида

Условие

В треугольнике ABC угол A равен 48^{\circ}, угол C равен 62^{\circ}. На продолжении стороны AB за точку B отложен отрезок BD, равный стороне BC. Найдите угол D треугольника BCD. Ответ дайте в градусах.

Треугольник ABC с продолжением стороны AB

Показать решение

Решение

Угол CBD является внешним углом треугольника ABC и равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. Найдём угол CBD.

\angle CBD = \angle A + \angle C = 48^{\circ}+62^{\circ}= 110^{\circ}. Треугольник BCD равнобедренный, его углы при основании равны: \angle D=\angle DCB. Сумма углов треугольника равна 180^{\circ}. Тогда \angle D = (180^{\circ}-110^{\circ}):2=35^{\circ}.

Ответ

35
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №294

Тип задания: 6
Тема: Треугольник общего вида

Условие

К сторонам треугольника равным 12 и 8 проведены высоты. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Найдите длину высоты, проведенной ко второй стороне.

Треугольник с двумя высотами

Показать решение

Решение

По условию задачи AB=12, BC=8, CH=4.

Треугольник ABC с двумя высотами CH и AK

Найдем площадь треугольника ABC.

S_{ABC}=\frac{AB\cdot CH}{2}=\frac{12\cdot4}{2}=24.

С другой стороны, S_{ABC}=\frac{BC\cdot AK}{2}=\frac{8\cdot AK}{2}=24, откуда AK=6.

Ответ

6
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №289

Тип задания: 6
Тема: Треугольник общего вида

Условие

В тупоугольном треугольнике ABC\:AC=BC=15, высота AH равна 12. Найдите \sin\angle ACB.

Тупоугольный треугольник ABC с прямоугольным треугольником ACH

Показать решение

Решение

В прямоугольном \triangle ACH\:\sin\angle ACH=\frac{AH}{AC}=\frac{12}{15}=\frac45.

Тогда \sin \angle ACB= \sin(\pi-\angle ACH)= \sin\angle ACH= \frac45= 0,8.

Ответ

0,8
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №77

Тип задания: 6
Тема: Треугольник общего вида

Условие

В треугольнике ABC угол С равен 91^{\circ}, угол А равен 41^{\circ}. Найдите внешний угол треугольника при вершине B.

Треугольник ABC

Показать решение

Решение

Так как сумма углов треугольника равна 180 градусов, то внутренний угол при вершине B будет равен: 180^{\circ} - \angle A - \angle C = 180^{\circ} - 41^{\circ} - 91^{\circ} = 48^{\circ}

Значит искомый внешний угол будет равен: 180^{\circ} - 48^{\circ} = 132^{\circ}

Ответ

132

Задание №76

Тип задания: 6
Тема: Треугольник общего вида

Условие

В треугольнике ABC биссектрисы AD и BE пересекаются в точке O. Угол C равен 32^{\circ}. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Треугольник ABC с биссектрисами AD и BE

Показать решение

Решение

Учитывая, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, справедливо уравнение:

\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}

Т.к. биссектриса делит угол пополам, то:

\angle BAC = 2 \cdot  \angle BAO и \angle ABC = 2 \cdot  \angle ABO.

Отсюда получим:

2 \cdot  \angle BAO + 2 \cdot  \angle ABO + 32^{\circ} = 180^{\circ}

\angle BAO + \angle ABO + 16^{\circ} = 90^{\circ}

\angle BAO + \angle ABO = 74^{\circ}

Зная, что сумма углов BAO и ABO равна 74^{\circ}, найдем искомый угол AOB:

\angle AOB = 180^{\circ} - 74^{\circ} = 106^{\circ}

Ответ

106