Задания по теме «Тригонометрические функции»

Открытый банк заданий по теме тригонометрические функции. Задания B12 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №957

Тип задания: 12
Тема: Тригонометрические функции

Условие

Найдите точку максимума функции y=(4x-5)\cos x-4\sin x+12, принадлежащую промежутку \left ( 0; \frac{\pi}{2} \right ).

Показать решение

Решение

Найдём производную исходной функции: y'= (4x-5)'\cos x+(4x-5)(\cos x)'-4(\sin x)'+(12)'= 4\cos x+(4x-5)\cdot(-\sin x)-4\cos x= -(4x-5)\sin x.

Найдём нули производной на интервале \left ( 0; \frac{\pi}{2} \right ), учитывая, что на этом множестве \sin x>0.

Имеем -(4x-5)\sin x=0,

4x-5=0,

x=\frac54.

Значение x=\frac54 принадлежит интервалу \left ( 0; \frac{\pi}{2} \right ). При x\in\left ( 0; \frac54 \right ) выполняется неравенство y'(x)>0. При x\in\left ( \frac54; \frac{\pi}{2} \right ) выполняется неравенство y'(x)<0. Отсюда x=\frac54=1,25 является единственной точкой максимума на рассматриваемом интервале.

Поведение функции на числовой оси со знаками производной

Ответ

1,25
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №955

Тип задания: 12
Тема: Тригонометрические функции

Условие

Найдите наибольшее значение функции y=18\cos x+9\sqrt3 x-3\sqrt3 \pi+16 на отрезке \left [ 0; \frac{\pi}{2} \right ].

Показать решение

Решение

Найдём производную исходной функции: y'=-18\sin x+9\sqrt3. Вычислим нули производной: y'=0.

-18\sin x+9\sqrt3=0,

\sin x=\frac{\sqrt3}{2}.

На отрезке \left [ 0; \frac{\pi}{2} \right ] этому уравнению удовлетворяет только x=\frac{\pi}{3}. Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции на рассматриваемом отрезке.

Поведение функции на числовой оси со знаками производной

Из рисунка видно, что при x<\frac{\pi}{3} выполняется y'(x)>0 и исходная функция возрастает. Аналогично при x>\frac{\pi}{3} выполняется y'(x)<0 и исходная функция убывает. Значит, наибольшее значение достигается при x=\frac{\pi}{3} и равно y\left ( \frac{\pi}{3} \right )= 18\cos\frac{\pi}{3}+9\sqrt3\cdot\frac{\pi}{3}-3\sqrt3 \pi+16= 9+16=25.

Ответ

25
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №128

Тип задания: 12
Тема: Тригонометрические функции

Условие

Найдите наибольшее значение функции y=13tgx-12x+5 на отрезке \left [ -\frac{\pi}{4}; 0 \right ].

Показать решение

Решение

Вычислим производную функции.

y'=\frac{13}{\cos^2x}-13=13(\frac{1}{\cos^2x}-1)=13tg^2x

Производная функции на всем промежутке возрастает, значит наибольшее значение функции она достигает на правом конце отрезка. Вычислим значение функции в этой точке.

y(0)=13tg0-13\cdot0+5=5

Точка 5 – наибольшее значение функции.

Ответ

5

Задание №127

Тип задания: 12
Тема: Тригонометрические функции

Условие

Найдите наименьшее значение функции y=8\cos x-17x+6 на отрезке \left [ -\frac{3\pi}{2}; 0 \right ].

Показать решение

Решение

Вычислим производную функции.

y'=-8\sin x-17

Так как выражение -8\sin x при любых значениях x всегда не больше чем 8, то полученная разность меньше нуля, а это говорит о том, что функция убывает. Следовательно наименьшее значение функция достигает на правом конце отрезка. Вычислим это значение.

y(0)=8\cos0-17\cdot0+6 = 8+6=14

Точка 14 – наименьшее значение функции.

Ответ

14

Задание №126

Тип задания: 12
Тема: Тригонометрические функции

Условие

Найдите точку максимума функции y=(2x-3)\cos x-2\sin x+2 на промежутке \left ( 0; \frac{\pi}{2} \right ).

Показать решение

Решение

Вычислим производную функции.

y'=2\cos x-(2x-3)\sin x-2\cos x

y'=-(2x-3)\sin x

y'=(3-2x)\sin x

Найдем точки экстремума, в которых производная функции обращается в нуль.

(3-2x)\sin x=0

\left [\begin{array}{l} 3-2x=0 \\ \sin x=0 \end{array} \right .

\left [ \begin{array}{l} x=1,5 \\ x=\pi n, n \in \mathbb{Z} \notin \left ( 0; \frac{\pi}{2} \right ) \end{array} \right .

На числовой оси отложим граничные точки промежутка и точку экстремума и посмотрим как ведет себя функция.

Граничные точки промежутка и точка экстремума на числовой оси

При переходе через точку x = 1,5 производная меняет знак с плюса на минус. Значит x = 1,5 – точка максимума функции.

Ответ

1,5