Задания по теме «Угол между прямой и плоскостью»

Открытый банк заданий по теме угол между прямой и плоскостью. Задания C2 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №191

Тип задания: 14
Тема: Угол между прямой и плоскостью

Условие

Основанием четырехугольной пирамиды SABCD является прямоугольник со сторонами AB = 12, BC = 5. Боковые ребра SA= 3\sqrt{3},SB= \sqrt{171}, SD = 2\sqrt{13}.

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите угол между SC и BD.

Показать решение

Решение

Четырехугольная пирамида SABCD

а) Заметим, что треугольник SAB является прямоугольным, так как в нем SB^2=171=27+144=SA^2+AB^2. Аналогично треугольник SAD тоже является прямоугольным, поскольку SD^2=52=27+25=SA^2+AD^2. Получаем, что прямая SA перпендикулярна прямым AB и AD, а значит, перпендикулярна плоскости основания ABCD.

б) Отложим на прямой AD за точку D отрезок DE, равный отрезку AD. Тогда в четырехугольнике BCED стороны BC и DE равны и параллельны. Следовательно, BCED является параллелограммом, поэтому BD\parallel CE, и угол между SC и BD будет равен углу между SC и CE.

По теореме Пифагора BD^2=AB^2+AD^2=144+25=169,

SC^2= SA^2+AC^2= SA^2+BD^2= 27+169= 196,

SE^2=SA^2+AE^2=27+100=127.

Значит, BD=CE=13, SC=14, SE=\sqrt{127}.

Пусть \angle SCE=\alpha. По теореме косинусов для треугольника SCE имеем: SE^2=SC^2+CE^2-2SC\cdot CE\cdot \cos \alpha,

\cos \alpha= \frac{SC^2+CE^2-SE^2}{2SC\cdot CE}= \frac{196+169-127}{2\cdot 13\cdot 14}= \frac{119}{182}.

Откуда \alpha=\arccos\frac{119}{182}.

Ответ

б) \arccos\frac{119}{182}.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №170

Тип задания: 14
Тема: Угол между прямой и плоскостью

Условие

Площадь сечения, плоскостью SAC, правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 32\sqrt{3}, а площадь основания пирамиды ABCD равна 64.

а) Докажите, что угол между плоскостью основания, правильной четырехугольной пирамиды и боковым ребром равен 60^{\circ}.

б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Показать решение

Решение

Сторона основания пирамиды равна 8. Тогда диагональ основания AC равна 8\sqrt{2}.

Пусть SH – высота пирамиды, тогда угол между боковым ребром SA и плоскостью основания – это угол SAC.

а) Площадь треугольника SAC равна \frac{1}{2}AC\cdot SH=32\sqrt{3}, откуда SH=\frac{64\sqrt{3}}{8\sqrt{2}}=4\sqrt{6}.

Следовательно, tg SAC=\frac{SH}{AH}= \frac{4\sqrt{6}}{4\sqrt{2}}=\sqrt{3}, а значит угол SAC равен 60^{\circ}.

б) Возьмем SM – за высоту грани SAB. Тогда получим

SM=\sqrt{SH^{2}+HM^{2}}=\sqrt{96+16}=4\sqrt{7}.

Отсюда следует S_{SAB}=\frac{SM\cdot AB}{2}=4\sqrt{7}\cdot 4=16\sqrt{7}.

Следовательно, площадь боковой поверхности равна 16\sqrt{7}\cdot 4=64\sqrt{7} – что и требовалось найти по условию.

Ответ

б) 64\sqrt{7}

Источник: «Математика ЕГЭ 2016. Типовые тестовые задания». Под ред. И. В. Ященко.