Задания по теме «Задачи на движение»

Открытый банк заданий по теме задачи на движение. Задания B11 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №945

Тип задания: 11
Тема: Задачи на движение

Условие

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 221 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Скорость движения теплохода в воде без течения равна 15 км/ч. Стоянка длилась 7 часов. Найдите скорость течения реки, если в пункт отправления теплоход вернулся через 37 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Показать решение

Решение

Обозначим скорость течения через x км/ч, тогда скорость теплохода по течению реки равна (15+x) км/ч, скорость теплохода против течения (15-x) км/ч. Время движения теплохода равно 37-7=30 ч.

Составим и решим уравнение:

\frac{221}{15+x}+\frac{221}{15-x}=30,

221(15-x+15+x)=30(15-x)(15+x),

221=225-x^2,

x^2=4,

x_1=2,\,x_2=-2.

Скорость течения положительна, она равна 2 км/ч.

Ответ

2
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №944

Тип задания: 11
Тема: Задачи на движение

Условие

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми 288 км. На следующий день он поехал обратно со скоростью на 6 км/ч больше прежней. По пути велосипедист останавливался и отдыхал 4 часа. В итоге на возвращение в город A у него ушло сколько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

Показать решение

Решение

Обозначим скорость велосипедиста на пути от A до B через x км/ч, x>0. Тогда его скорость на обратном пути будет (x+6) км/ч. Время, затраченное велосипедистом на путь от A до B, равно \frac{288}{x}ч, время движения на обратном пути \frac{288}{x+6}ч.

Составим и решим уравнение:

\frac{288}{x}-\frac{288}{x+6}=4,

288(x+6-x)=4x(x+6),

72\cdot6=x^2+6x,

x^2+6x-432=0,

x_1=18,\,x_2=-24.

Отрицательная скорость не удовлетворяет условию задачи. Скорость велосипедиста равна 18 км/ч.

Ответ

18
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №943

Тип задания: 11
Тема: Задачи на движение

Условие

Из пункта A в пункт B одновременно выехали две дорожные машины. Первая машина проехала с постоянной скоростью весь путь. Вторая проехала первую половину пути со скоростью 39 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью на 26 км/ч большей скорости первой машины, в результате чего в пункт B обе машины прибыли одновременно. Найдите скорость первой машины. Ответ дайте в км/ч.

Показать решение

Решение

Обозначим скорость первой машины через x км/ч, путь от A до B s км, тогда путь от пункта A в пункт B она пройдёт за \frac sxч. Половина пути пройдена второй машиной со скоростью 39 км/ч за \frac{0,5s}{39}=\frac{s}{78}ч. Скорость второй машины на второй половине пути равна (x+26) км/ч, таким образом, время, затраченное на вторую половину пути второй машиной, равно \frac{0,5s}{x+26}ч.

Составим и решим уравнение:

\frac sx=\frac{s}{78}+\frac{0,5s}{x+26},

\frac 2x=\frac{2}{78}+\frac{1}{x+26},

\frac 2x-\frac{1}{39}-\frac{1}{x+26}=0,

\frac{2\cdot39(x+26)-x(x+26)-39x}{39x(x+26)}=0,

78x+39\cdot52-x^2-26x-39x=0,

x^2-13x-39\cdot52=0,

x_1=52,\,x_2=-39.

Отрицательная скорость не удовлетворяет условию. Скорость первой машины 52 км/ч.

Ответ

52
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №939

Тип задания: 11
Тема: Задачи на движение

Условие

Из одной точки круговой трассы, длина которой 18 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Спустя 40 минут после начала движения, один автомобиль опередил второй ровно на один круг. Найдите скорость второго автомобиля, если скорость первого равна 90 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Показать решение

Решение

Пусть скорость второго автомобиля равна x км/ч, тогда за 40 минут, т.е. за \frac23часа он проедет расстояние, равное \frac23x км. Первый автомобиль проедет за это время \frac23\cdot90=60(км). Разность между расстояниями, которые проехали автомобили за \frac23часа, и есть круг трассы, т.е. 18 км. Составим и решим уравнение:

60-\frac23x=18,

\frac23x=42,

x=63.

Скорость второго автомобиля 63 км/ч.

Ответ

63
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №938

Тип задания: 11
Тема: Задачи на движение

Условие

Из двух городов, расстояние между которыми равно 544 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Скорости движения автомобилей равны 64 км/ч и 72 км/ч. Через сколько часов автомобили встретятся?

Показать решение

Решение

Обозначим время автомобилей до встречи через x ч. Тогда первый автомобиль до встречи со вторым автомобилем пройдёт 64x км, а второй автомобиль пройдет до встречи 72x км.

Составим и решим уравнение:

64x+72x=544,

136x=644,

x=4.

Автомобили встретятся через 4 часа.

Ответ

4
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №335

Тип задания: 11
Тема: Задачи на движение

Условие

По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый имеет длину 105 метров, второй — 100 метров. Первый сухогруз обходит второго и в определенный момент времени расстояние от носа второго сухогруза до кормы первого равно 500 метров. Спустя 13 минут второй сухогруз обходит первого и этот момент времени расстояние от носа первого сухогруза до кормы второго составило 400 метров. Определите, на сколько скорость первого сухогруза меньше скорости второго? Ответ дайте в километрах в час.

Показать решение

Решение

На рисунке указаны расположения сухогрузов в тот момент, когда второй сухогруз находился позади первого и расстояние от кормы первого до носа второго было 500 м, а так же их расположение через 13 минут (заметим, что 13 минут =\frac{13}{60} часа).

Расположение сухогрузов в море

S_1 — расстояние (в м.), которое прошел первый сухогруз за 13 минут.

S_2 — расстояние (в м.), которое прошел второй сухогруз за 13 минут.

Тогда S_2=500+105+S_1+400+100=S_1+1105.

Значит, S_2-S_1=1105.

Отсюда \frac{S_2-S_1}{\dfrac{13}{60}}=\frac{S_2}{\dfrac{13}{60}}-\frac{S_1}{\dfrac{13}{60}}=\frac{1105}{\dfrac{13}{60}}.

Пусть v_2 и v_1 — скорости первого и второго сухогрузов.

v_2-v_1=\frac{1105\cdot60}{13}=85\cdot60=5100м/ч =5,1 км/ч.

Ответ

5,1
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №330

Тип задания: 11
Тема: Задачи на движение

Условие

Мотоциклист проехал расстояние в 180 км от A до B с постоянной скоростью. На следующий день он проехал это же расстояние в обратную сторону из B в A со скоростью на 10 км/ч меньше прежней. Возвращаясь, он сделал остановку на 24 минуты и в итоге на дорогу из B в A ушло времени на 1 час больше, чем в прошлый раз на путь из A в B. Найдите скорость мотоциклиста на пути из A и B. Ответ дайте в км/ч.

Показать решение

Решение

Пусть x (км/ч) — скорость мотоциклиста на пути из A в B. Тогда расстояние от A до B он проехал за \frac{180}{x} часов. На путь от B до A он затратил \frac{180}{x-10}+\frac{24}{60} часов, учитывая остановку на 24 минуты. Так как на путь из B в A он затратил на 1 час больше, чем потратил на дорогу из A в B, то получим уравнение \frac{180}{x}+1=\frac{180}{x-10}+\frac{24}{60}, x>10.

Решение полученного уравнения:

\frac{180}{x}+1=\frac{180}{x-10}+\frac25;

\frac{180}{x}-\frac{180}{x-10}+\frac35=0;

\frac{180\cdot5(x-10)-180\cdot5x+3x(x-10)}{5x(x-10)}=0;

3x^2-30x-180\cdot50=0, x>10;

x^2-10x-60\cdot50-0.

По теореме, обратной теореме Виета, корни уравнения x_1=-50 и x_2=60. Так как x>10, то x=60.

Ответ

60
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №328

Тип задания: 11
Тема: Задачи на движение

Условие

Автомобилист проехал расстояние между двумя городами за 3 дня. В первый день он проехал \frac13 всего пути и еще 100 км. Во второй день он проехал \frac16 всего пути и еще 200 км. В последний день он проехал \frac14 всего пути и оставшееся 50 км. Найдите расстояние между городами (в км).

Показать решение

Решение

Пусть S — расстояние между городами, тогда по условию

\frac13S+100+\frac16S+200+\frac14S+50=S,

350=S-\frac{9}{12}S=\frac{3}{12}S=\frac14S,

S=350\cdot4=1400.

Ответ

1400
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №326

Тип задания: 11
Тема: Задачи на движение

Условие

Из городов A и B, расстояние между которыми 270 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автобуса. Они встретились спустя 2,5 часа после начала движения на расстоянии 140 км от города A. С какой скоростью двигался автобус, выехавший из города B. Ответ дайте к км/час.

Показать решение

Решение

Автобус, выехавший из пункта B, до встречи прошел путь 270-140=130 (км) за 2,5 часа. Значит, его скорость равна \frac{130}{2.5}=\frac{130\cdot2}{5}=26\cdot2=52 (км/ч).

Ответ

52

Задание №83

Тип задания: 11
Тема: Задачи на движение

Условие

В финальном заезде гонки участвовали два гонщика. Заезд проводился на кольцевой трассе, имеющей протяженность 6 км. Гонщикам было необходимо проехать 68 кругов. В результате первый гонщик пришел на финиш раньше второго на 15 минут. Найдите среднюю скорость второго гонщика, если известно, что он отстал от первого ровно на круг через 60 минут после начала гонки, а стартовали они одновременно. Ответ выразите в км/ч. 

Показать решение

Решение

Пусть v1 км/ч – скорость первого гонщика, а v2 км/ч – второго. Расстояние S, которое преодолел каждый гонщик, составляет: S = 68·6 = 408 км. Первый гонщик прошел его за время t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{408}{v_1} ч, а второй – за t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{408}{v_2} ч. Известно, что второй гонщик пришел на 15 минут (\frac{1}{4} часа) позже первого, т.е. t_2 - \frac{1}{4} = t_1. Подставляем значения t1 и t2 и составляем уравнение: 

t_2 - \frac{1}{4} = t_1 

\frac{408}{v_2} - \frac{1}{4} = \frac{408}{v_1} 

По условию задачи дано, что второй гонщик отстал от первого ровно на круг через 60 минут (1 час). Длина круга 6 км, следовательно: 

v1 – v2 = 6

Решаем полученную систему уравнений: 

\begin{cases} \frac{408}{v_2} - \frac{1}{4} = \frac{408}{v_1}\\ v_1-v_2=6 \end{cases}

Из второго уравнения выразим скорость первого гонщика: v1 = 6 + v2. Подставляем это значение в первое уравнение системы и упрощаем его: 

\frac{408}{v_2} - \frac{1}{4} = \frac{408}{v_1}

\frac{408}{v_2} - \frac{1}{4} = \frac{408}{6+v_2}

\frac{408}{v_2} - \frac{408}{6+v_2}  = \frac{1}{4}

\frac{408(6+v_2)-408v_2}{v_2(6+v_2)} = \frac{1}{4}

\frac{2448+408v_2-408v_2}{v_2^2+6v_2} = \frac{1}{4}

v^2_2+6v_2=2448\cdot 4

v^2_2+6v_2-9792=0

Решаем квадратное уравнение относительно v2. По формуле дискриминанта:

D=b^2-4ac=36+4 \cdot 9792=36+39168=39204

v_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-6-\sqrt{39204}}{2}=\frac{-6-198}{2}=-102

v_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{-6+\sqrt{39204}}{2}= \frac{-6+198}{2} = 96

Т.к. скорость не может быть отрицательной величиной, искомое v2 = 96 км/ч – средняя скорость второго гонщика.

Ответ

96