Задания по теме «Задачи на проценты»

Открытый банк заданий по теме задачи на проценты. Задания B11 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №942

Тип задания: 11
Тема: Задачи на проценты

Условие

Цена телевизора в магазине ежеквартально (в квартале — три месяца) уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Известно, что телевизор, стоимостью 50 000 рублей был продан спустя два квартала за 41 405 рублей. Найдите, на сколько процентов ежеквартально уменьшалась стоимость телевизора.

Показать решение

Решение

Цена телевизора первоначально была 50 000 руб. Через квартал она стала 50\,000-50\,000\cdot0,01x = 50\,000(1-0,01x) рублей, где x — количество процентов, на которые уменьшается ежеквартально цена телевизора. Через два квартала его цена стала

50\,000(1-0,01x)(1-0,01x)=50\,000(1-0,01x)^2.

Составим и решим уравнение:

50\,000(1-0,01x)^2=41\,405,

(1-0,01x)^2=0,8281,

1-0,01x=0,91,

x=9.

Итак, на 9 процентов уменьшалась цена телевизора ежеквартально.

Ответ

9
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №941

Тип задания: 11
Тема: Задачи на проценты

Условие

В 2005 году в посёлке проживало 55 000 человек. В 2006 году, в результате строительства новых домов, число жителей увеличилось на 6%, а в 2007 году — на 10% по отношению к 2006 году. Найдите, число жителей посёлка в 2007 году.

Показать решение

Решение

В 2006 году число жителей посёлка выросло на 6%, т.е. стало 106%, что равно 55\,000 \cdot 1,06 = 58\,300 (жителей). В 2007 году число жителей посёлка выросло на 10% (стало 110%) по сравнению с 2006 годом, т.е. число жителей посёлка стало 58\,300 \cdot 1,1 = 64\,130 человек.

Ответ

64130
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №940

Тип задания: 11
Тема: Задачи на проценты

Условие

В сосуд, содержащий 3 литра 14-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 4 литра воды. Найдите концентрацию (в процентах) получившегося после смешивания раствора.

Показать решение

Решение

В 3 литрах 14%-ного водного раствора содержится 3\cdot0,14=0,42 л. некоторого вещества. Добавили 4 литра воды, стало 7 литров раствора. В этих 7 литрах нового раствора — 0,42 л некоторого вещества. Найдём концентрацию нового раствора: 0,42:7\cdot100=6%.

Ответ

6
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №329

Тип задания: 11
Тема: Задачи на проценты

Условие

Строительные фирмы учредили компанию с уставным капиталом 150 млн рублей. Первая фирма внесла 20% уставного капитала, вторая фирма — 22,5 млн рублей, третья — 0,3 уставного капитала, четвертая фирма внесла оставшуюся часть.

По договоренности ежегодная прибыль между фирмами будет расформирована пропорционально внесенным в уставный капитал вкладам. Какую сумму получит четвертая фирма, если прибыль составила 100 млн рублей? Ответ дайте в млн рублей.

Показать решение

Решение

Первая форма — 150\cdot20:100=30 (млн руб.).

Вторая фирма — 22,5 (млн руб.).

Третья фирма — 0,3\cdot150=45 (млн руб.).

Четвертая фирма — 150-(30+22,5+45)=52,5 (млн руб.).

Часть уставного капитала, который составляет взнос четвертой фирмы: \frac{52,5}{150}=0,35.

Найдем сумму от прибыли, причитающуюся четвертой фирме: 100\cdot0,35=35 (млн руб.).

Ответ

35
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №327

Тип задания: 11
Тема: Задачи на проценты

Условие

В результате смешивания 25%-го и 15%-го растворов серной кислоты было получено 750 г 20%-го раствора. Сколько граммов 15%-го раствора было использовано?

Показать решение

Решение

Пусть x г было взято 15%-го раствора, тогда (750-x) г было взято 25%-го раствора.

\frac{x\cdot15}{100}=(0,15x) г кислоты содержал 15%-й раствор.

\frac{(750-x)\cdot25}{100}=(187,5-0,25x) г кислоты содержал 25%-й раствор.

В результате смешивания получили 20%-й раствор, который содержал \frac{750\cdot20}{100}=150 г кислоты.

Составим и решим уравнение.

0,15x+187,5-0,25x=150,

0,1x=37,5,

x=375.

375 г — масса 15%-го раствора.

Ответ

375
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №87

Тип задания: 11
Тема: Задачи на проценты

Условие

Имеются два куска металла массой 80 г и 70 г, которые содержат различную концентрацию серебра. Если сплавить эти два металла, то на выходе получится металл, который будет содержать 63% серебра. Если же сплавить одинаковые массы этих металлов, то результатом будет сплав, содержащий 65% серебра. Найдите, сколько граммов серебра находится в первом куске металла.

Показать решение

Решение

Пусть в первом сплаве концентрация серебра составляет x1%, во втором – x2%. Соответственно в первом сплаве находится 80x1 г серебра, а во втором – 70x2 г.

При сплавлении металлов образуется третий сплав массой 150 г , который содержит x1 + x2 г серебра. По условию задачи, концентрация серебра в нем составляет 63%, т.е. масса серебра равна 0,63·150. Составим уравнение:

80x1 + 70x2 = 0,63·150

При сплавлении равных масс металлов, концентрация серебра в новом металле составляет 65%. Т.е.:

x1 + x2 = 2·0,65

Составляем и решаем систему уравнений:

\begin{cases} 80 x_1 + 70 x_2 = 0,63 \cdot 150\\ x_1 + x_2=2 \cdot 0,65 \end{cases}

\begin{cases} 80x_1+70x_2=94,5\\ x_1 + x_2= 1,3 \end{cases}

Из второго уравнения выразим x2:

x2 = 1,3 − x1

Подставим это значение в первое уравнение системы:

80x1 + 70x2 = 94,5

80x1 + 70(1,3 − x1) = 94,5

80x1 + 91 − 70x1 = 94,5

10x1 = 3,5

x1 = 0,35

Как указывалось выше, в первом сплаве содержится 80x1 г серебра. Вычисляем:

80·x1 = 80·0,35 = 28 г серебра содержится в 80 г сплава.

Ответ

28

Задание №56

Тип задания: 11
Тема: Задачи на проценты

Условие

В двух сплавах имеется различное содержание кобальта. В первом – 25%, во втором – 30% кобальта. На производстве из них был получен третий сплав общей массой 150 кг, в котором содержится 28% кобальта. Определите разницу в весе двух сплавов. Ответ дайте в килограммах.

Показать решение

Решение

Пусть x – масса первого сплава. Тогда масса второго сплава равна 150 − x. В первом сплаве содержится 25% никеля, т.е 0,25·x, а во втором 30% никеля, т.е. 0,3 \cdot (150 - x). Третий сплав имеет массу 150 кг и содержит массы двух сплавов с содержанием никеля 28%, т.е. 0,28 \cdot 150. Зная эти значения, можем составить уравнение:

0,25x+0,3\cdot (150-x)=0,28\cdot 150

0,25x+45-0,3x=42

0,3x-0,25x=45-42

0,05x=3

x=60

Масса первого сплава равна 60 кг. Масса второго равна 150 − 60 = 90 кг. Разница в весе сплавов составляет 90 − 60 = 30 кг.

Ответ

30