Задание №1006

Тип задания: 17
Тема: Практические задачи

Условие

В мае планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

  • каждый год в январе месяце долг повышается на 10% по сравнению с концом прошедшего года;
  • с февраля по апрель каждого года нужно выплатить часть долга;
  • долг в мае каждого года должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на май предыдущего года.

На сколько лет берется кредит, если известно, что сумма всех выплат по кредиту составит 6 млн. рублей?

Показать решение

Решение

Пусть кредит планируется взять на n лет. Ежегодный платеж состоит из двух частей — одна и та же сумма x=\frac{5}{n} млн рублей, на которую каждый год уменьшается сумма кредита (долга), и плата за пользование кредитом, которая составляет 10% от оставшегося долга. Долг перед банком (в млн рублей) по состоянию на май должен уменьшаться до нуля равномерно: 5;\,5-x;\,5-2x;\,...\,5-(n-1)x.

Ежегодные выплаты процентов за пользование кредитом составят (в млн рублей): 0,1 \cdot5;\, 0,1 \cdot (5-x);\, 0,1 \cdot (5-2x);\,...\, 0,1 \cdot (5-(n-1)x).

Сумму выплат процентов за пользование кредитом посчитаем как сумму арифметической прогрессии.

0,1 \cdot 5+0,1 \cdot (5-x)+0,1 \cdot (5-2x)+ ...+0,1 \cdot (5-(n-1)x)= 0,1(5+(5-x)+(5-2x)+ ...+(5-(n-1)x))= 0,1 \cdot \frac{5+5-(n-1)x}{2} \cdot n= 0,1 \cdot \frac{\left ( 10-(n-1) \cdot \dfrac{5}{n} \right ) \cdot n}{2}= 0,1 \cdot \frac{10n-5(n-1)}{2}= \frac{5n+5}{20}= \frac{n+1}{4}.

За n лет клиент банка должен выплатить 5 млн рублей кредита и проценты за пользование кредитом \frac{n+1}{4} млн рублей, что по условию равно 6 млн рублей.

5+\frac{n+1}{4}=6,  \frac{n+1}{4}=1,  n=3.

Кредит планируется взять на 3 года.

Ответ

3

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены

Людмила Быстрова / 

помогите решить задачу:берётся ссуда 5млн руб на несколько лет.условия возврата таковы: ежегодно с января по сентябрь производиться единоразовый платёж по задолжности . каждый декабрь процент задолжности повышается на 20 по сравнению с началом года. Каждый ноябрь понижается на одинаковую сумму денег.Известно,что итоговая сумма выплат составляет 7,5 млн. руб. На какой срок взяли ссуду.

Галина Кельман / 

помогите решить

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ