Задание №1011

Тип задания: 17
Тема: Практические задачи

Условие

Тимур приобрёл ценную бумагу за 7 тысяч рублей. Цена бумаги каждый год увеличивается на 3 тысячи рублей. По истечении любого числа лет Тимур может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10%. По истечении скольких лет после покупки Тимур должен продать ценную бумагу, чтобы через 15 лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была наибольшей?

Показать решение

Решение

Если Тимур продаст бумагу по истечении i-го года, то через 15 лет после покупки сумма на его счёте будет равна (3i+7) \cdot (1,1)^{15-i}. Таким образом, нам нужно найти номер максимального члена последовательности a_{i}=(3i+7) \cdot (1,1)^{15-i}, где i пробегает целые значения от 1 до 15.

Попробуем выяснить, при каких i последовательность a_{i} возрастает, а при каких — убывает. Для этого рассмотрим приращение b_{i}=a_{i}-a_{i-1}. Найдём a_{i-1}.

a_{i-1}= (3(i-1)+7) \cdot 1,1^{15-(i-1)}= (3i+4) \cdot 1,1^{15-i} \cdot 1,1 (i \geq 1).

b_{i}= a_{i}-a_{i-1}= (1,1)^{15-i}(3i+7-3,3i-4,4)= (1,1)^{15-i}(2,6-0,3i).

Отсюда b_{i} > 0 при 1 \leq i \leq 8 и b_{i} < 0 при i > 8. Следовательно, a_{0} < a_{1} < ... < a_{8} > a_{9} > ... > a_{15}. Отсюда наибольшее значение последовательность a_{i} принимает при i = 8.

Ответ

8 лет.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены