Задание №1191

Условие

Решите неравенство \frac1{\log_{x^2+x}0,5}\,\,\,+ \frac1{\log_{x^2+x}0,25}\,\,\,+ \frac1{\log_{x^2+x}4}\geqslant 1.

Показать решение

Решение

ОДЗ неравенства является множество всех решений системы

\begin{cases} x^2+x>0,\\ x^2+x\neq 1; \end{cases} \begin{cases} x^2+x>0,\\ x^2+x-1\neq 0.\end{cases}

x \in \left( -\infty ; \frac{-1-\sqrt 5}{2}\right)\,\, \cup \left( \frac{-1-\sqrt 5}{2}; -1\right) \,\,\cup \left( 0;\frac{-1+\sqrt 5}{2}\right) \,\,\cup \left( \frac{-1+\sqrt 5}{2};+\infty \right).

Перейдём в неравенстве к логарифмам по основанию 2.

\frac1{\dfrac{\log_2 0,5}{\log_2(x^2+x)}}\,\,+ \frac1{\dfrac{\log_2 0,25}{\log_2(x^2+x)}}\,\,+ \frac1{ \dfrac{\log_2 4}{\log_2(x^2+x)}}\geqslant 1,

\frac{\log_2(x^2+x)}{-1}\,\,+ \frac{\log_2(x^2+x)}{-2}\,\,+ \frac{\log_2(x^2+x)}{2}\geqslant 1,

\log_2(x^2+x)\cdot \left( -1-\frac12+\frac12\right) \geqslant 1,

-\log_2(x^2+x)\geqslant 1,

\log_2(x^2+x)\leqslant 1.

\log_2(x^2+x)\leqslant \log_2 0,5,

x^2+x\leqslant 0,5,

x^2+x-0,5\leqslant 0.

Находим корни квадратного трёхчлена x^2+x-0,5:

x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt 3}2, поэтому множеством решений неравенства x^2+x-0,5 \leqslant 0 будет множество \left[ \frac{-1-\sqrt 3}{2}; \frac{-1+\sqrt 3}{2}\right].

Так как \frac{-1-\sqrt 5}2<\frac{-1-\sqrt 3}2<-1 и 0<\frac{-1+\sqrt 3}2<\frac{-1+\sqrt 5}2, то множеством решений неравенства будет множество \left[ \frac{-1-\sqrt 3}2; -1\right) \cup \left( 0;\frac{-1+\sqrt 3}2\right].

Ответ

\left[ \frac{-1-\sqrt 3}2; -1\right) \cup \left( 0;\frac{-1+\sqrt 3}2\right].

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ