Задание №1199

Тип задания: 16
Тема: Окружности и треугольники

Условие

В треугольнике ABC проведены высоты AM и BN. На них из точек M и N опущены перпендикуляры MK и NF соответственно:

а) Докажите, что прямые KF и AB параллельны.

б) Найдите отношение KF:AB, если \angle ACB=60^{\circ}.

Показать решение

Решение

а) \triangle ANO \sim \triangle BMO по первому признаку подобия (\angle ANO=\angle BMO=90^{\circ}, \angle AON=\angle BOM как вертикальные). Учитывая, что в подобных треугольниках пропорциональны сходственные стороны и высоты, к ним проведённые, получим \frac{AO}{OB}=\frac{NF}{KM} (1).

Подобные треугольники с сходственными высотами и сторонами

\triangle NFO \sim \triangle MKO по первому признаку подобия

(\angle NFO=\angle MKO=90^{\circ}, \angle NOF=\angle MOK как вертикальные), отсюда \frac{OF}{OK}=\frac{NF}{MK}. (2).

Из 1) и 2) следует, что \frac{AO}{OB}=\frac{OF}{OK}.

Следовательно, \triangle AOB \sim \triangle FOK по второму признаку подобия (\angle AOB — общий, \frac{AO}{FO}=\frac{OB}{OK}).

Из подобия следует \angle OAB=\angle OFK. Углы OAB и OFK соответственные при прямых AB и KF и секущей AO, следовательно, AB \parallel KF по признаку параллельности прямых.

б) В четырёхугольнике NCMO, \angle MON= 360^{\circ}-(\angle N+\angle M+\angle C)= 120^{\circ}.

В \triangle MOK, \angle MKO=90^{\circ}, \angle MOK=60^{\circ} как смежный с \angle MON, тогда \angle OMK=30^{\circ}. Пусть OK=x, OM=2OK=2x.

В \triangle OMB, \angle OMB=90^{\circ}, \angle MOB=60^{\circ}, \angle MBO=30^{\circ}, OB=2OM=4x.

По доказанному в пункте а) \triangle FOK \sim \triangle AOB, значит, сходственные стороны пропорциональны: \frac{KF}{AB}=\frac{OK}{OB}=\frac{x}{4x}=\frac14.

Следовательно, KF:AB=1:4.

Ответ

KF:AB=1:4.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Заказать работу на Академии ЕГЭ

Рефераты, доклады, презентации, сочинения и другие работы

В течение 15 минут мы ответим вам

Что нужно сделать?
Введите имя
Укажите электронную почту

Сообщение отправлено

С вами свяжется наш специалист для обсуждения деталей

Вы что-то пропустили

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены