Задание №1200

Тип задания: 16
Тема: Окружности и треугольники

Условие

Точка M — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника NPK, — центр вписанной в него окружности, — точка пересечения высот. Известно, что \angle PNK=\angle MPK+\angle MKP.

а) Докажите, что точка Q лежит на окружности, описанной около треугольника PMK.

б) Найдите угол MQW, если \angle NPK=47^{\circ}.

Показать решение

Решение

а) Чтобы доказать, что точки P, M, Q и K лежат на одной окружности, можно воспользоваться одним из признаков, например доказать, что \angle PMK=\angle PQK. Найдём эти углы.

M — центр окружности, описанной около треугольника NPK, тогда как центральный и вписанный углы, опирающиеся на одну дугу, \angle PMK=2\angle PNK.

Запишем сумму углов треугольника PMK и воспользуемся полученным и заданным в условии равенствами.

\angle PMK+\angle MPK+\angle MKP= 2\angle PNK+\angle PNK= 3\angle PNK= 180^{\circ},

\angle PNK=60^{\circ}; \angle PMK=120^{\circ}.

Q — центр вписанной в треугольник NPK окружности, поэтому Q — точка пересечения биссектрис треугольника.

\angle PQK= 180^{\circ}-(\angle QPK+\angle QKP)= 180^{\circ}-\frac{\angle NPK+\angle NKP}2.

\angle PQK= 180^{\circ}-\frac{180^{\circ}-\angle PNK}2= 180^{\circ}-\frac{180^{\circ}-60^{\circ}}2= 120^{\circ}.

Значит, \angle PMK=\angle PQK, поэтому точки P, M, Q и K лежат на одной окружности.

б) W — точка пересечения высот треугольника NPK. Найдём угол MQW, для этого

докажем сначала, что и точка W лежит на той же окружности, что и точки P, M, Q и K. Если провести высоту треугольника (например, из вершины P), то образуются прямоугольные треугольники, сумма острых углов каждого такого треугольника равна 90^{\circ}. Например, \angle WPK+\angle PKN=90^{\circ}, аналогично можно получить: \angle WKP+\angle NPK=90^{\circ}.

\angle PWK= 180^{\circ}-\angle WPK-\angle WKP= 180^{\circ}-(90^{\circ}-\angle PKN)-(90^{\circ}-\angle NPK)= \angle PKN+\angle NPK= 120^{\circ}, \angle PMK=\angle PQK=\angle PWK, потому точки P, M, Q, W и K лежат на одной окружности.

Окружность описанная около остроугольного треугольника

Так как \angle PNK=60^{\circ}, \angle NPK=47^{\circ}, получаем: \angle NKP=73^{\circ}. В равнобедренном треугольнике PMK, \angle MPK=\frac{180^{\circ}-\angle PMK}2=30^{\circ}. Учитывая, что PW \perp NK, получаем: \angle WPK=90^{\circ}-\angle NKP=17^{\circ}. Отсюда \angle WPM=\angle MPK-\angle WPK=13^{\circ}.

\angle MPK=30^{\circ}, \angle QPK=\frac{\angle NPK}2=\frac{47^{\circ}}2=23, 5^{\circ}

\angle KPW= 90^{\circ}-\angle NKP= 90^{\circ}-73^{\circ}= 17^{\circ}, значит, \angle MPK>\angle QPK>\angle KPW, поэтому лучи PW, PQ и PM пересекают дугу окружности в порядке, указанном на рисунке.

Четырёхугольник PMQW вписан в окружность, поэтому сумма его противоположных углов равна 180^{\circ} и \angle MQW= 180^{\circ}-\angle WPM= 180^{\circ}-13^{\circ}= 167^{\circ}.

Ответ

б) 167^{\circ}.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ