Задание №1204

Тип задания: 16
Тема: Окружности и треугольники

Условие

Биссектриса острого угла A равнобедренной трапеции ABCD пересекает её основание в точке K. В этой трапеции расположены две равные окружности радиусом 2, касающиеся её сторон и друг друга, причём K — одна из точек касания.

а) Докажите, что треугольник ABK равнобедренный.

б) Найдите площадь трапеции.

Показать решение

Решение

а) AK — биссектриса угла \angle BAD, значит, \angle BAK=\angle KAH. Основания AD и BC трапеции параллельны, значит, \angle KAH=\angle AKB (как накрест лежащие). Поэтому \angle BAK=\angle AKB, и треугольник ABK равнобедренный.

б) Пусть CF=x, FD=y, радиус окружности r, тогда, учитывая, что отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны и треугольник ABK равнобедренный, BC=2x+y.

С другой стороны, учитывая, что точка M — середина основания BC, получим BC=2x+2r, поэтому y=2r=4.

Равнобедренная трапеция с двумя равными окружностями, касающиеся ее сторон и друг друга

\angle COD=90^{\circ} как угол, образованный двумя биссектрисами смежных углов. Из \triangle COD, OF^2=CF\cdot FD, r^2=xy, но  y=2r. Тогда r=2x, x=1.

Найдём основания трапеции BC=2(x+r)=2\cdot (1+2)=6, AD=2(y+r)=2\cdot (4+2)=12. KH=2r=4

S= \frac12(BC+AD)\cdot KH= \frac12\cdot (6+12)\cdot 4= 36.

Ответ

36

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены