Задание №1206

Тип задания: 16
Тема: Окружности и треугольники

Условие

Задан треугольник ABC, каждая сторона которого равна 2. За пределами треугольника дана точка D так, что \angle ADC=120^{\circ}. Прямая l проходит через точку A и перпендикулярна отрезку, проведённому в A из точки пересечения высот \triangle ABC. K — точка пересечения прямых l и BD. Длина отрезка AK равна 1.

а) Докажите, что BK\cdot DK=1

б) Найдите длину отрезка AD.

Показать решение

Решение

1. Опишем окружность около треугольника ADC. Так как \angle ADC=120^{\circ}, то он опирается на дугу этой окружности, градусная мера которой равна 240^{\circ}.

Пусть точка M является серединой этой дуги, тогда все дуги AC, AM и CM имеют градусную меру 120^{\circ}. Поэтому треугольник AMC является равносторонним, длина каждой его стороны равна длине AC. Значит, точка M совпадает с точкой B треугольника ABC.

Получаем, что указанная окружность описана около треугольника ABC. Её центр O является точкой пересечения биссектрис (высот и медиан). Поэтому отрезок, проведённый из точки A к точке пересечения высот треугольника совпадает с отрезком AO, где AO — радиус описанной окружности. По условию l \perp OA.

Окружность, описанная около треугольника с прямой

Так как l \perp AO, то l перпендикулярна радиусу, поэтому l является касательной к окружности. По свойству касательной и секущей, проведённых к окружности из одной точки K получаем: AK^2=KB\cdot KD. Но AK=1, значит 1=KB\cdot KD. Что и требовалось доказать.

б) 1. На рисунке \angle KAB=\angle KAO+\angle OAB. \angle KAO=90^{\circ} по условию, \angle OAB=\frac12\angle CAB, так как AO — биссектриса \angle CAB. Но \angle CAB=60^{\circ}, значит, \angle OAB=30^{\circ}, а \angle KAB=90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}.

2. По теореме косинусов для \triangle ABK получаем:

BK^2= AB^2+AK^2-2\cdot AB\cdot AK\cdot \cos 120^{\circ}= 4+1-2\cdot 2\cdot 1\left( -\frac12\right) = 7, так как \cos 120^{\circ}=-\frac12, BK=\sqrt 7.

В пункте а) установлено, что BK\cdot KD=1, поэтому KD=\frac1{BK}=\frac1{\sqrt 7}.

Отсюда BD=BK-KD=\sqrt 7-\frac1{\sqrt 7}=\frac6{\sqrt 7}.

Заметим, что \angle ADB =\frac12\cdot 120^{\circ}=60^{\circ} (применили теорему о вписанном угле).

3. Обозначим AD=x.

По теореме косинусов для треугольника ADB получаем: AB^2= AD^2+BD^2-2\cdot AD\cdot BD\cdot \cos \angle ADB,

4=x^2+\frac{36}7-2\cdot x\cdot\frac6{\sqrt 7}\cdot\cos 60^{\circ},

4=x^2+\frac{36}7-2\cdot x\cdot \frac6{\sqrt 7}\cdot \frac12,

x^2-\frac6{\sqrt 7}x+\frac87=0.

По теореме Виета x_1 =\frac2{\sqrt 7}, x_2=\frac4{\sqrt 7}.

По свойству треугольника DK+AK>AD, поэтому \frac1{\sqrt 7}+1>AD.

Если AD =\frac4{\sqrt 7}, то должно выполняться \frac1{\sqrt 7} +1>\frac4{\sqrt 7}, \frac3{\sqrt 7}<1, 3<\sqrt 7, что не верно.

Следовательно, AD =\frac2{\sqrt 7}.

Ответ

\frac2{\sqrt7}.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ