Задание №1220

Тип задания: 18
Тема: Уравнения с параметром

Условие

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение \frac{x-3a}{x+3}+\frac{x-2}{x-a}=1 имеет единственный корень.

Показать решение

Решение

\frac{(x-3a)(x-a)+(x+3)(x-2)-(x+3)(x-a)}{(x+3)(x-a)}=0,

\frac{x^2-ax-3ax+3a^2+x^2+x-6-x^2+ax-3x+3a}{(x+3)(x-a)}=0,

\frac{x^2-x(3a+2)+3a^2+3a-6}{(x+3)(x-a)}=0,

\begin{cases} x^2-x(3a+2)+3a^2+3a-6=0,\\(x+3)(x-a)\neq 0 \end{cases}

Решим уравнение x^2-x(3a+2)+3a^2+3a-6=0,

x_{1,2}=\frac{(3a+2)\pm\sqrt {-3a^2+28}}2.

1. При D<0 уравнение корней не имеет.

2. При D=0,\enspace -3a^2+28=0, a=\pm 2\sqrt \frac73. Уравнение имеет единственный корень x =\frac{3a+2}2 при a=\pm 2 \sqrt \frac73.

Проверим условие x \neq -3,\, x \neq a.

\frac{3a+2}2 =-3, a=-\frac83 \neq \pm2\sqrt \frac73 ,

\frac{3a+2}2 =a, a=-2\neq \pm2\sqrt \frac73.

Значит, a=\pm 2\sqrt \frac73 удовлетворяет условию.

3. При D>0 уравнение имеет два корня x_{1,2}=\frac{(3a+2) \pm \sqrt {28-3a^2}}2. Проверим, при каких значениях a значения x=-3 и x=a являются корнями уравнения x^2-x(3a+2)+3a^2+3a-6=0.

При x=-3 должно выполняться равенство 9+3(3a+2)+3a^2+3a-6=0,

3a^2+12a+9=0, a^2+4a+3=0, a=-1, a=-3.

При x=a должно выполняться равенство a^2-2a+3a-6=0,

a^2+a-6=0, a_1=-3, a_2=2.

При a=-3, a=-1 и a=2 исходное уравнение имеет единственный корень.

Ответ

 -3;  −1; \pm 2\sqrt \frac73 ;  2.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ