Задание №1223

Условие

При каких значениях параметра a система \begin{cases} x-\sqrt 3|y|=0,\\ (x-2a)^2+(y-\cos \pi a)^2 \leqslant (5a-21)^2 \end{cases} имеет ровно два решения?

Показать решение

Решение

Решим задачу графически. Если |5-2a|=0, то неравенство системы задаёт круг с центром в точке (2a; \cos \pi a) и радиусом |5a-21|. Если |5a-21|=0, то решением

неравенства будет единственная точка: x=2a=\frac{42}5 , y=\cos \pi a=\cos \frac{21\pi }5 , а тогда у системы не может быть более одного решения.

Окружность на биссектрисе угла и касающаяся обеих его сторон

Уравнение системы задаёт угол, биссектрисой которого является ось Ox. Сторона этого угла проходит через точки (0; 0) и \left(1; \frac1{\sqrt 3}\right), и поэтому образует угол 30^{\circ} с положительным направлением оси Ox.

Ровно два решения будет, если круг касается обеих сторон угла. Тогда центр круга должен лежать на биссектрисе угла, то есть на луче Ox. Следовательно, ордината центра круга должна равняться нулю, а абсцисса быть больше нуля. Ордината равна нулю, если \cos \pi a=0, \pi a=\frac \pi 2+\pi k, k \in \mathbb Z, a=\frac12+k, k Z.

Абсцисса центра круга равна 2a и равна 2k+1, она больше нуля, если k \geqslant 0. Рассмотрим \triangle O_1OM , где O_1 — центр круга, M — одна из точек касания. Тогда O_1M=|5a-21|, OO_1=2a, \angle O_1MO =90^{\circ}, \angle MOO_1 =30^{\circ}. Тогда O_1M= O_1O\cdot \sin \angle O_1OM= 2a\sin 30^{\circ}= a. Значит, a=|5a-21|, k+\frac12= \left|5k+\frac52 -21\right|, k+\frac12=\left|5k-\frac{37}2 \right|; отсюда либо k+\frac12 =5k-\frac{37}{2,} то есть 4k=19,\, k=\frac{19}4 ; либо k+\frac12 =\frac{37}2-5k,\, 6k=18, k=3. — целое число, \frac{19}4 \notin Z. 3\in \mathbb Z и 3\geqslant 0. Таким образом, k=3, a=\frac12+k=3,5.

Ответ

3,5

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ