Задание №1225

Условие

Найдите все значения a>0, при каждом из которых система \begin{cases} (|x|-3)^2 +(y-3)^2=4,\\ (x+3)^2 +y^2=a^2 \end{cases} имеет единственное решение.

Показать решение

Решение

Если x \geqslant 0, то первое уравнение задаёт окружность \phi _1 с центром в точке C_1(3; 3) радиуса 2, а если x<0, то оно задаёт окружность \phi _2 с центром в точке C_2(-3; 3) того же радиуса.

При a>0 второе уравнение задаёт окружность \phi с центром в точке C(-3; 0) радиуса a. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра a, при каждом из которых окружность \phi имеет единственную общую точку с объединением окружностей \phi _1 и \phi _2.

Взаимодействие окружности с объединением окружностей посредством луча и точек

Из точки C проведём луч CC_1 и обозначим A_1 и B_1 точки его пересечения с окружностью \phi _1, где A_1 лежит между C и C_1.

Так как CC_1=\sqrt {6^2 +3^2 }=\sqrt {45} =3\sqrt 5, то CA_1=3\sqrt 5-2, CB_1=3\sqrt 5+2.

При a < CA_1 или a > CB_1 окружности \phi и \phi _1 касаются. При CA_1 < a < CB_1 окружности \phi и \phi _1 имеют 2 общие точки. При a=CA_1=3\sqrt 5-2 или a=CB_1=3\sqrt 5+2, окружности \phi и \phi _1 касаются.

Координаты точки касания окружностей \phi и \phi _2 явно видны на чертеже: это точки A_2(-3; 1) и B_2(-3; 5). То есть при a=1 и a=5 окружности \phi и \phi _2 касаются. При остальных значениях параметра a окружности \phi и \phi _2 либо имеют 2 общие точки, либо не имеют общих точек.

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность \phi касается ровно одной из двух окружностей \phi _1 и \phi _2 и не пересекается с другой.

Так как 1<3\sqrt 5-2<5<3\sqrt 5+2, то условию задачи удовлетворяют только числа a=1 и a=3\sqrt 5+2.

Ответ

1; 3\sqrt 5+2.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ