Задание №158

Условие

а) Решите уравнение 2\sin ^{4}x+3\cos 2x+1=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left [\pi;3\pi \right ]

Показать решение

Решение

а) Воспользуемся формулой \sin ^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}.

Из нее следует, что \sin ^{4}x=\frac{1}{4}\left ( \cos ^{2}2x-2\cos 2x+1 \right ).

Поэтому уравнение можно преобразовать так:

\frac{1}{2}\cos ^{2}2x-\cos 2x+\frac{1}{2}+3\cos 2x+1=0

\cos ^{2}2x+4\cos 2x+3=0

Сделаем замену t=\cos 2x:

t^{2}+4t+3=0

t=-1 или t=-3

Сделаем обратную замену:

\cos 2x=-1 или \cos 2x=-3.

Уравнение \cos 2x=-3 не имеет решений. Из уравнения \cos 2x=-1 получаем

2x=\pi +2\pi n, n\in \mathbb{Z}

x=\frac{\pi }{2}+\pi n, n\in \mathbb{Z}

б) При помощи тригонометрической окружности отберем корни, принадлежащие заданному отрезку.

Корни принадлежащие отрезку на тригонометрической окружности

Получим x=\frac{3\pi }{2}, x=\frac{5\pi }{2}.

Ответ

а) \frac{\pi }{2}+\pi n, n\in \mathbb{Z}б) \frac{3\pi }{2}; \frac{5\pi}{2}.

Источник: «Математика ЕГЭ 2016. Типовые тестовые задания». Под ред. И. В. Ященко.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены

Бунёд Хидоятов / 

а почему -П/2+2Пк не входит в ответ?

Бунёд Хидоятов / 

сори (+Пк) вернее