Задание №163

Тип задания: 18
Тема: Уравнения с параметром

Условие

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение \left | x-a^{2}+a+2 \right |+\left | x-a^{2}+3a-1 \right |=2a-3 имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу (4; 19).

Показать решение

Решение

Разность выражений, стоящих под знаком модуля, совпадает с правой частью уравнения:

\left ( x-a^{2}+3a-1 \right )-\left ( x-a^{2}+a+2 \right )=2a-3

Сделаем замену: m=x-a^{2}+3a-1, n=x-a^{2}+a+2.

Тогда уравнение имеет вид: \left | m \right |+\left | n \right |=m-n

Это равносильно условию n\leq 0\leq m. Получаем

x-a^{2}+a+2\leq 0\leq x-a^{2}+3a-1

a^{2}-3a+1\leq x\leq a^{2}-a-2

Уравнение имеет корни, ни один из которых не принадлежит интервалу \left ( 4; 19 \right ) только если правая граница отрезка решений не больше 4 или левая граница не меньше 19.

Получаем

\left \{\!\!\!\! \begin{array}{l}\: a^{2}-3+1\leq a^{2}-a-2, \\ \left [\!\! \begin{array}{l} a^{2}-a-2\leq 4, \\ a^{2}-3a+1\geq19; \end{array} \right . \end{array} \right .

\left \{\!\!\!\! \begin{array}{l}\: 2a\geq 3, \\ \left [\!\! \begin{array}{l} a^{2}-a-6\leq 0, \\ a^{2}-3a-18\geq0; \end{array} \right . \end{array} \right .

\left \{\!\!\!\! \begin{array}{l}\: a\geq 1,5, \\ \left [\!\! \begin{array}{l} (a-3)(a+2)\leq 0, \\ (a-6)(a+3)\geq0; \end{array} \right . \end{array} \right .

\left \{\!\!\!\! \begin{array}{l}\: a\geq 1,5, \\ \left [\!\! \begin{array}{l} a\leq -3, \\ -2\leq a\leq 3, \\ a\geq 6; \end{array} \right . \end{array} \right .

Ответ

1,5\leq a\leq 3; a\geq 6.

Источник: «Математика ЕГЭ 2016. Типовые тестовые задания». Под ред. И. В. Ященко.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены