Задание №164

Условие

Возрастающая конечная арифметическая прогрессия включает в себя различные целые, только, положительные числа. Ученик нашел разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. После чего, ученик добавил к этой прогрессии ее следующий член и заново вычислил точно такую же разность.

а) Напишите пример этой прогрессии, при условии, что разность во второй раз получилась на 48 больше, чем в первый.

б) Разность во второй раз получилась на 1440 больше, чем в первый. Могла ли, при таком условии, прогрессия вначале состоять из 12 членов?

в) Разность во второй раз получилась на 1440 больше, чем в первый. Определите какое самое большое количество членов, вначале, могла содержать прогрессия?

Показать решение

Решение

а) Например: 1, 2, 3. Разность между квадратом суммы и суммы квадратов получается 36 − 14 = 22. При добавлении числа 4, наша разность получается 100 − 30 = 70. В итоге 70 − 22 = 48, что и требовалось найти в условии.

б) Члены прогрессии обозначим a_{1}, a_{2},..., a_{n}. Разность вычисленная учеником в первый раз получается в таком виде:

(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}-a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-...-a_{n}^{2}= 2a_{n}(a_{1}+a_{2}+... +a_{n-1})+2a_{n-1}(a_{1}+a_{2}+... +a_{n-2})+...+2a_{3}(a_{1}+a_{2})+2a_{2}a_{1}

После того как к прогрессии добавили член a_{n+1}, то разность, во второй раз вычисленная, отличается от первой дополнительным слагаемым.

2a_{n+1}(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})= 2(a_{1}+nd)\frac{2a_{1}+(n-1)d}{2}n= (a_{1}+nd)(2a_{1}+(n-1)d)n,

где d – разность прогрессии.

По условию видно, что a_{1}\geq 0 и d\geq 1, тогда

(a_{1}+nd)(2a_{1}+(n-1)d)n\geq n^{2}(n-1).

Неравенство получается n^{2}(n-1)\leq 1440,

где n\leq 11. От сюда следует, что начальная прогрессия из 12 членов состоять не могла.

в) (a_{1}+nd)(2a_{1}+(n-1)d)n=1440 из этого равенства следует, что n является делителем числа 1440. Исходя из этого n\neq 11.

Предположим n = 10, тогда (a_{1}+10d)(2a_{1}+9d)=144.

Когда d\geq 2, то левая часть не меньше чем 90d^{2}\geq 90\cdot 4=360> 144.

От сюда следует, что d = 1. У нас уравнение получается в виде

2a_{1}^{2}+29a_{1}-54=0, целых решений это уравнение не имеет.

Предположим n = 9, тогда (a_{1}+9d)(2a_{1}+8d)=160.

Когда d\geq 2, то левая часть не меньше чем 72d^{2}\geq 72\cdot 4=288> 160.

Исходя из этого d = 1. У нас уравнение получается в виде

a_{1}^{2}+13a_{1}-44=0, целых решений это уравнение не имеет.

Предположим n = 8, тогда: (a_{1}+8d)(2a_{1}+7d)=180.

Когда d\geq 2, то левая часть не меньше чем 56d^{2}\geq 56\cdot 4=224> 180.

Исходя из этого, d = 1. У нас получается уравнение в виде 2a_{1}^{2}+23a_{1}-124=0, это уравнение имеет единственный натуральный корень 4.

Следовательно, прогрессия из восьми чисел 4, 5, 6, ..., 11 удовлетворяем условию задачи.

Ответ

а) 1, 2, 3; б) нет; в) 8.

Источник: «Математика ЕГЭ 2016. Типовые тестовые задания». Под ред. И. В. Ященко.

Рассказать друзьям

Заказать работу на Академии ЕГЭ

Рефераты, доклады, презентации, сочинения и другие работы

В течение 15 минут мы ответим вам

Что нужно сделать?
Введите имя
Укажите электронную почту

Сообщение отправлено

С вами свяжется наш специалист для обсуждения деталей

Вы что-то пропустили

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены