Задание №172

Тип задания: 18
Тема: Уравнения с параметром

Условие

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \left | x-a^{2}+4a-2 \right |+\left | x-a^{2}+2a+3 \right |=2a-5

имеет хотя бы один корень на отрезке \left [ 5; 23 \right ].

Показать решение

Решение

Разность выражений, стоящих под знаком модуля, совпадает с правой частью уравнения:

\left ( x-a^{2}+4a-2 \right )-\left ( x-a^{2}+2a+3 \right )=2a-5.

Сделаем замену: m=x-a^{2}+4a-2, n=x-a^{2}+2a+3.

Тогда уравнение имеет вид: \left | m \right |+\left | n \right |=m-n

Это равносильно условию n\leq 0\leq m. Получаем

x-a^{2}+2a+3\leq 0\leq x-a^{2}+4a-2;

a^{2}-4a+2\leq x\leq a^{2}-2a-3.

Уравнение имеет хотя бы один корень на отрезке \left [ 5; 23 \right ], только если правая граница отрезка решений не меньше 5, а левая граница отрезка не больше 23. Получаем

\begin{cases} a^{2}-4a+2\leq a^{2}-2a-3,\\a^{2}-2a-3\geq 5,\\a^{2}-4a+2\leq 23;\end{cases}

\begin{cases} 2a\geq 5,\\a^{2}-2a-8\geq 0,\\a^{2}-4a-21\leq 0;\end{cases}

\begin{cases} a\geq 2,5,\\(a-4)(a+2)\geq 0,\\(a-7)(a+3)\leq 0;\end{cases}

\left \{\!\!\! \begin{array}{l}\: a\geq 2,5,\\ \left [\!\! \begin{array}{l} -3\leq a\leq -2, \\ 4\leq a\leq 7. \end{array} \right . \end{array} \right .

Ответ

4\leq a\leq 7.

Источник: «Математика ЕГЭ 2016. Типовые тестовые задания». Под ред. И. В. Ященко.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены