Задание №173

Условие

Возрастающая конечная арифметическая прогрессия включает в себя различные целые, только, положительные числа. Ученик нашел разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. После чего, ученик добавил к этой прогрессии ее следующий член и заново вычислил точно такую же разность.

а) Напишите пример этой прогрессии, при условии, что разность во второй раз получилась на 40 больше, чем в первый.

б) Разность во второй раз получилась на 1768 больше, чем в первый. Могла ли, при таком условии, прогрессия вначале состоять из 13 членов?

в) Разность во второй раз получилась на 1768 больше, чем в первый. Определите, какое наибольшее количество членов, вначале, могла содержать прогрессия?

Показать решение

Решение

а) Пример: 2, 3. Найдем разность между квадратом суммы (2+3)^{2}=25 и суммы квадратов (2^{2}+3^{2})=13 получается 25-13=12. При добавлении числа 4, наша разность получается 81-29=52. В итоге 52-12=40, что и требовалось доказать (разность во второй раз оказалась больше чем в первый на 40).

б) За a_{1}, a_{2},..., a_{n} примем члены прогрессии. Разность вычисленная учеником в первый раз равняется:

(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}-a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-...-a_{n}^{2}= 2a_{n}(a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1})+ 2a_{n-1}(a_{1}+a_{2}+... +a_{n-2})+...+2a_{3}(a_{1}+a_{2})+2a_{2}a_{1}

После того как добавили член к прогрессии a_{n+1}, разность, во второй раз вычисленная, отличается от первой дополнительным слагаемым

2a_{n+1}(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})= 2(a_{1}+nd)\frac{2a_{1}+(n-1)d}{2}n= (a_{1}+nd)(2a_{1}+(n-1)d)n,

где d - разность прогрессии.

Из условия следует, что a_{1}\geq 0 и d\geq 1, тогда

(a_{1}+nd)(2a_{1}+(n-1)d)n\geq n^{2}(n-1).

Неравенство выглядит так: n^{2}(n-1)\leq 1768,

где n\leq 12.

Вывод: нет, сначала прогрессия состоять не могла из 13 членов.

в) Из равенства (a_{1}+nd)(2a_{1}+(n-1)d)n=1768 следует, что n является делителем числа 1768=2\cdot 2\cdot 2\cdot 13\cdot 17. Наибольший делитель, меньший 13, равен 8.

Предположим n=8, тогда

(a_{1}+8d)(2a_{1}+7d)=221.

Когда d\geq 2, левая часть получается не меньше, чем 56d^{2}\geq 56\cdot 4=224>221.

От сюда сделаем вывод, что d=1. Получаем уравнение:

2a_{1}^{2}+23a_{1}-165=0, оно имеет один натуральный корень 5.

Следовательно, прогрессия из восьми чисел 5, 6, 7, ..., 12 удовлетворяет условию задачи.

Ответ

а) 2, 3; б) нет; в) 8.

Источник: «Математика ЕГЭ 2016. Типовые тестовые задания». Под ред. И. В. Ященко.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены