Задание №175

Условие

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений имеет более двух возможных решений.

\begin{cases}8x-8y-40=\left | x^{2}+y^{2}-25 \right |, \\ y=ax-5 \end{cases}

Показать решение

Решение

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Окружности на координатной плоскости и прямые

1) Если x^{2}+y^{2}-25\geqslant 0 (данному неравенству удовлетворяют точки вне круга и точки окружности с центром (0; 0) и радиусом 5), то получаем уравнение

8x-8y-40=x^{2}+y^{2}-25,

x^{2}-8x+16+y^{2}+8y+16=32-40+25,

(x-4)^{2}+(y+4)^{2}=17.

Полученное уравнение задает окружность с центром A(4;-4) и радиусом \sqrt{17}. Учитывая условие x^{2}+y^{2}-25\geqslant 0, получаем дугу с концами в точках M(0;-5) и N(5;0).

2) Если x^{2}+y^{2}-25\leqslant 0 (это точки круга), то получаем уравнение

8x-8y-40=-x^{2}-y^{2}+25,

x^{2}+8x+y^{2}-8y=65,

(x+4)^{2}+(y-4)^{2}=97. Полученное уравнение задает окружность с центром B(-4;4) и радиусом \sqrt{97}. Учитывая условие, получаем дугу с концами в точках M и N.

Рассмотрим второе уравнение системы y=ax-5. Оно задает прямую l, проходящую через точку M(0;-5).

При a=1 прямая проходит через точки M и N и исходная система имеет два решения, при a>1 прямая имеет с дугами единственную общую точку M.

Найдем a, при котором прямая l касается окружности с центром B в точке M. Тогда l\perp BM. Прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно -1.

K_{BM}=-\frac{9}{4}, K_{BM}\cdot a=-1, a=\frac{4}{9}. При этом прямая имеет две общие точки с дугами, то есть в системе два решения.

При a<\frac{4}{9} у прямой с меньшей дугой общая точка M, а с большей M и еще не более одной точки. Значит, система имеет не больше двух решений.

При \frac{4}{9}<a<1 прямая имеет с дугами по две общие точки, одна из которых M.

Значит, исходная система имеет более двух решений при \frac{4}{9}<a<1.

Ответ

\left ( \frac{4}{9};1 \right )

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Заказать работу на Академии ЕГЭ

Рефераты, доклады, презентации, сочинения и другие работы

В течение 15 минут мы ответим вам

Что нужно сделать?
Введите имя
Укажите электронную почту

Сообщение отправлено

С вами свяжется наш специалист для обсуждения деталей

Вы что-то пропустили

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены