Задание №177

Условие

а) Решите уравнение 7^{\cos \left(2x-\tfrac{\pi}{2}\right)}=49^{\cos x}.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2;4].

Показать решение

Решение

а) Преобразуем обе части уравнения, получим 7^{\sin2x}=7^{2\cos x}, откуда \sin 2x=2\cos x;

2\sin x\cos x=2\cos x; 2\cos x(\sin x-1)=0. Таким образом, либо \cos x=0 и тогда x=\frac{\pi}{2}+\pi k, k\in \mathbb{Z}, либо \sin x =1, тогда x=\frac{\pi}{2}+2\pi n, n\in \mathbb{Z}. Заметим, что вторая серия решений полностью входит в первую, отсюда x=\frac{\pi}{2}+\pi k, k\in \mathbb{Z}.

б) Заметим, что \pi<4 и поэтому при k=0 и при k=-1 x=\frac{\pi}{2} и -\frac{\pi}{2}, соответсвенно 0<\frac{\pi}{2}<\frac{4}{2}=2, 0>-\frac{\pi}{2}>-\frac{4}{2}>-2. Таким образом,x=\pm \frac{\pi}{2} принадлежит рассматриваемому промежутку.

При k \geqslant 1 получим x=\frac{\pi}{2}+\pi k>\frac{3}{2}+3k\geqslant\frac{3}{2}+3>4, x не принадлежит рассматриваемому промежутку.

При k \leqslant -2 получим x=\frac{\pi}{2}+\pi k\leqslant \frac{\pi}{2}-2\pi=-\frac{3}{2}\pi<-\frac{3\cdot 3}{2}<-2, x не принадлежит рассматриваемому промежутку.

Ответ

а)\frac{\pi}{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z}); б) \pm \frac{\pi}{2}.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены