Задание №184

Тип задания: 19
Тема: Числа и их свойства

Условие

Для каждого натурального числа введем число n!=1\cdot 2\cdot ...\cdot n (например 1!=1, 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120). Определите наибольшее возможное значение в каждом из следующих случаев.

а) n! имеет не более 3 различных простых делителей (простыми называются те натуральные числа, которые делятся только на себя и на единицу, исключая само число 1).

б) n! не делится на 512.

в) \log_7\left(\frac{(n!)^2}{4}-90n!+3201\right) определено и не превосходит 4.

Показать решение

Решение

а) Первые простые числа 2, 3, 5, 7. Таким образом, при n\geqslant7 число n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot 7\cdot ...\cdot n делится на 2, 3, 5, 7, то есть имеет не менее 4 простых делителей. При n=6 получим, что n!=1\cdot 2\cdot ...\cdot 6 делится на 2, 3, 5 и не имеет других простых делителей. Значит, 6 — искомое значение n.

б) Ясно, что 512=2^9. Заметим, что максимальная степень двойки, на которую делится n! равна сумме степеней двоек, входящих в разложение на простые множители чисел k\leqslant n. Тогда 2! делится на 2^1, 4! - на 2^3, 6! - на 2^4, 8! - на 2^7, 10! на 2^8, 12! на 2^{10}>512. Таким образом, 12! делится на 512, а 11! - нет. Значит, 11 - искомое значение n.

в) 0<\frac{(n!)^2}{4}-90n!+3201\leqslant7^4. Пусть n!=t.

Тогда 0<t^2-360t+12804 \leqslant 9604. Решим неравенство t^2-360t+12804 \leqslant 9604, t^2-360t+3200\leqslant0.

Получим 180-\sqrt{29200}\leqslant t\leqslant 180+\sqrt{29200}. Так как t является натуральным числом, то 9<t<351.

Решим неравенство t^2-360t+12804>0. Получим, что либо t<180-\sqrt{19596}, либо t>180+\sqrt{19596}. Так как t является натуральным числом то либо t\leqslant40, либо t\geqslant320.

Получаем, что либо 9<t\leqslant40, либо 320\leqslant t<351.

Так как t=n!, 5!=120 и 6!=720, то t не может удовлетворять неравенству 319\leqslant t<351.

Рассматривая неравенство 9<n!<40, получаем, что наибольшее значение n, удовлетворяющее этому неравенству, равно 4, так как 4!=24, а 5!=120.

Ответ

а) 6; б) 11; в) 4.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Заказать работу на Академии ЕГЭ

Рефераты, доклады, презентации, сочинения и другие работы

В течение 15 минут мы ответим вам

Что нужно сделать?
Введите имя
Укажите электронную почту

Сообщение отправлено

С вами свяжется наш специалист для обсуждения деталей

Пожалуйста, ожидайте звонка в дневное время с 9 до 21 часов

Вы что-то пропустили

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены