Задание №197

Тип задания: 16
Тема: Задачи на доказательство

Условие

Точка O лежит за пределами квадрата ABCD, но в одной плоскости. OA=OB=5, OD=\sqrt{13}.

а) Докажите, что площадь квадрата ABCD меньше 36.

б) Найдите площадь квадрата ABCD.

Показать решение

Решение

Квадрат ABCD и точка O лежащая за его пределами и в одной плоскости

Точка O равноудалена от точек A и B, значит, лежит на срединном перпендикуляре к отрезку AB, то есть O принадлежит прямой MN.

а) Площадь квадрата не может быть больше либо равна 36, так как тогда сторона квадрата была бы больше либо равна 6, что невозможно. Действительно, в прямоугольном треугольнике катет всегда меньше гипотенузы, поэтому в прямоугольном треугольнике AOM верны соотношения MO=MN+NO<AO, откуда MN<AO, а так как MN=AB, то и AB<AO, AB \geqslant 6, AB<5=AO. Тогда 6<5, что неверно.

б) Введем обозначения AD=a, ON=x, тогда AM=MB=DN=\frac{a}{2},  MO=a+x. Применяя дважды теорему Пифагора для \bigtriangleup AMO и \bigtriangleup DNO, получим систему

\begin{cases}(a+x)^2+\frac{a^2}{4}=25,\\ x^2+\frac{a^2}{4}=13;\end{cases}

\begin{cases}a^2+2ax+x^2+\frac{a^2}{4}=25,\\ x^2+\frac{a^2}{4}=13;\end{cases}

\begin{cases}a^2+2ax-12=0,\\ x^2+\frac{a^2}{4}=13;\end{cases}

Из первого уравнения выразим x и подставим во второе:

x=\frac{12-a^2}{2a},

\left(\frac{12-a^2}{2a}\right)^2+\frac{a^2}{4}=13.

Выполняя тождественные преобразования, получим биквадратное уравнение a^4+38a^2+72=0, откуда a^2=36 или a^2=2.

Итак, площадь квадрата ABCD равна 2.

Ответ

2

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Заказать работу на Академии ЕГЭ

Рефераты, доклады, презентации, сочинения и другие работы

В течение 15 минут мы ответим вам

Что нужно сделать?
Введите имя
Укажите электронную почту

Сообщение отправлено

С вами свяжется наш специалист для обсуждения деталей

Пожалуйста, ожидайте звонка в дневное время с 9 до 21 часов

Вы что-то пропустили

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены