Задание №209

Тип задания: 16
Тема: Задачи на доказательство

Условие

Основание CD трапеции ABCD перпендикулярно ее боковой стороне BC. Через точки A и D провели окружность, которая касается прямой BC в точке M.

а) Докажите подобие \bigtriangleup ABF и \bigtriangleup FBK при условии, что F — точка пересечения прямых BC и AD, а BK — высота \bigtriangleup ABF.

б) При условии CD=4 см и AB=5 см, вычислите расстояние от точки M до прямой AD.

Показать решение

Решение

Не нарушая общности, можно рассмотреть одну из возможных конфигураций:

Трапеция с окружностью

а) Высота \bigtriangleup ABF \: BK \perp AF \Rightarrow \bigtriangleup ABF и \bigtriangleup FBK — прямоугольные, они подобны (по общему углу F).

б) Проведем MN \perp AD. Тогда MN — расстояние от точки M до прямой AD.

\bigtriangleup ABF, \bigtriangleup MNF, \bigtriangleup CDF — прямоугольные, их острый угол F — общий, значит, они подобны.

\bigtriangleup MNF \sim \bigtriangleup ABF \Rightarrow \frac{MN}{AB}=\frac{FM}{FA},  MN=\frac{FM \cdot AB}{FA}.

\bigtriangleup MNF \sim \bigtriangleup DCF \Rightarrow \frac{MN}{CD}=\frac{FM}{FD},  MN=\frac{FM \cdot CD}{FD}.

Тогда получим MN^{2}= \frac{FM \cdot AB \cdot FM \cdot CD}{FA \cdot FD}= \frac{FM^{2} \cdot AB \cdot CD}{FA \cdot FD}.

По теореме о секущей и касательной имеем:

FM^{2}=AF \cdot FD, тогда MN^{2}=AB \cdot CD=20.

MN=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.

Ответ

2\sqrt{5}

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены