Задание №210

Тип задания: 17
Тема: Практические задачи

Условие

Петр Игнатьевич положил в банк 96 000 рублей. Несколько лет ему начислялись то 5% годовых, то 10% годовых. За последний год начислили 25%. Проценты начислялись и добавлялись к сумме вклада в конце каждого года. В итоге, вклад Петра Игнатьевича составил 160 083 рублей. Сколько лет в банке пролежал его вклад?

Показать решение

Решение

Пусть вклад лежал под 5% годовых p лет и k лет вклад лежал под 10% годовых. Тогда после p+k лет вклад составил 96\:000 \cdot 1,1^{k} \cdot 1,05^{p}. Пролежав еще год, вклад достиг 96\:000 \cdot 1,1^{k} \cdot1,05^{p} \cdot 1,25= 120\:000 \cdot 1,1^{k} \cdot 1,05^{p}, при этом общий срок хранения равен (k+p+1) лет.

Составим уравнение:

120\:000 \cdot 1,1^{k} \cdot 1,05^{p}=160\:083.

Домножив обе части на 10^{k} \cdot 100^{p}, получим:

120\:000 \cdot 11^{k} \cdot 105^{p}= 160\:083 \cdot 10^{k} \cdot 100^{p},

40\:000 \cdot 11^{k} \cdot 105^{p}= 53\:361 \cdot 10^{k} \cdot 100^{p},

40\:000 \cdot 11^{k} \cdot3^{p} \cdot 5^{p} \cdot 7^{p}= 53\:361 \cdot 10^{k} \cdot 100^{p},

40\:000 \cdot 11^{k} \cdot 3^{p} \cdot 5^{p} \cdot 7^{p}= 3^{2}\cdot 7^{2} \cdot 11^{2} \cdot 10^{k} \cdot 100^{p} (1)

Проверим равенство (1) при p=2 и k=2.

40\:000 \cdot 25=1\:000\:000.

1\:000\:000=1\:000\:000 — равенство верно.

Число каждого из множителей 3, 7 и 11 в правой части равенства равно 2, значит, p=2 и k=2, при этом равенство верно.

Общее количество лет: k+p+1=2+2+1=5.

Ответ

5

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены