Задание №212

Тип задания: 19
Тема: Сюжетные задачи из жизни

Условие

На заводе производятся шесть видов кресел для детской карусели. Карусель рассчитана на 5 кресел, которые нужно установить. Как много способов установки можно применить в каждом из ниже перечисленных случаев, если способы, получающиеся друг из друга поворотом, считать одинаковыми?

а) Все кресла различные.

б) Кресла представлены 4 видами.

в) Не более 2 кресел каждого вида.

Показать решение

Решение

а) Если бы кресла стояли в ряд, то первое кресло можно было бы выбрать шестью способами, второе — пятью, третье — четырьмя. Всего было бы 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2=720 способов.

Однако за счет поворота каждый способ при таком подсчете считается пять раз, то есть \frac {720}{5}=144 способа.

б) Если представлены кресла четырех видов, то три вида представлены одним креслом, а один вид — двумя. Один вид, представленный двумя креслами, мы можем выбрать шестью способами. Затем из пяти оставшихся выбираем три вида, это можно сделать таким же числом способов, каким можно выбрать два неиспользуемых вида из пяти, то есть \frac{5 \cdot 4}{2}=10 способами.

Значит, существует 60 способов выбрать один вид, представленный двумя креслами, и три вида, представленные одним креслом.

Пусть описанный выше выбор сделан, и у нас уже отобрано 5 кресел. Сначала расставим их в ряд, считая различными. Получим 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=120 способов. Теперь учтем то, что один вид повторяется дважды. Получим: \frac{120}{2}=60 способов. Наконец, учтем повороты и получим: \frac{60}{5}=12 способов. Значит, всего 60 \cdot 12=720 способов.

в) Возможны 3 случая.

1) Все кресла различны. Тогда соответствующих способов — 144 (см. пункт а).

2) Три вида представлены одним креслом, а один вид — двумя. Таких способов — 720 (см. пункт б).

3) Один вид кресел представлен на карусели одним креслом, а двум видам соответствует по два кресла. Выбрать один вид, а затем два других можно 60 способами (не учитывая порядок выбора двух последних).

Если бы 5 кресел были различными, то их можно было бы расставить в ряд 5! =120 способами. Учитывая повторяющиеся кресла, получим:

\frac{120}{2 \cdot 2}=30 способов, а учитывая повороты — \frac{30}{5}=6 способов. Всего в этом случае 6 \cdot 60=360 способов.

Общее число способов равно 720+360+144=1224.

Ответ

а) 144; б) 720; в) 1224.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены