Задание №225

Тип задания: 19
Тема: Сюжетные задачи из жизни

Условие

Психологами был создан тест, пройдя который можно получить показатель умственных способностей человека. После прохождения теста испытуемый получает оценку — положительное целое однозначное число Q (чем больше умственных способностей, тем выше Q). Рейтингом группы людей является среднее арифметическое значений показателей всех участников, которые входят в данную группу.

а) Из группы А в группу Б перешли несколько человек. Если в обеих группах изначально было по 3 человека, то мог ли повыситься рейтинг у обеих групп после перехода участников?

б) Из группы А в группу Б перешли несколько человек. Затем из группы Б несколько участников перешли в группу А (в числе которых могли быть и бывшие люди из группы А). Может ли быть так, что рейтинги двух групп выросли и в первый, и во второй раз, если первоначально в каждой группе было по 10 человек.

в) Из группы А в группу Б перешли несколько человек. На какую наибольшую величину мог повыситься рейтинг группы А, если также и у группы Б повысился рейтинг при условии, что изначально в обеих группах было по 10 человек.

Показать решение

Решение

а) Возможно. Пример строится так: достаточно, чтобы из А и Б перешел всего один человек, имеющий показатель Q ниже, чем рейтинг группы А, но выше чем рейтинг группы Б.

Пусть рейтинги участников группы Б были: 1, 1, 1, рейтинги участников группы А были: 5, 8, 8. Из группы А в группу Б перешел человек с рейтингом 5. Рейтинг группы А повысился с 1 до 2, рейтинг группы Б повысился с 7 до 8.

б) Докажем для произвольных групп А и Б, что если при переходе нескольких человек из группы А в группу Б рейтинг обеих групп растет, то:

1) До перехода рейтинг группы А был больше рейтинга группы Б;

2) После перехода рейтинг группы А остается больше рейтинга группы Б.

Введем обозначения:

m — число людей в исходной группе А, A — сумма их показателей;

n — число людей в исходной группе Б, B — сумма их показателей;

k — число перешедших людей, X — сумма их показателей.

По условию, рейтинг обеих групп вырос, то есть \frac{A-x}{m-k}>\frac{A}{m}, \: \frac{B+x}{n+k}>\frac{B}{n}.

Из неравенства \frac{A-X}{m-k}>\frac{A}{m} получаем:

m(A-X)>A(m-k),  mX<Ak,  \frac{A}{m}>\frac{X}{k}, то есть, рейтинг изначальной группы A больше рейтинга группы «перебежчиков». Кроме того, из неравенства mX<Ak можно получить: mX-kX<Ak-kX,  X(m-k)<k(A-X),  \frac{X}{k}<\frac{A-X}{m-k}, то есть рейтинг уменьшенной группы А также больше рейтинга группы «перебежчиков».

Аналогично, из неравенства \frac{B+X}{n+k} > \frac{B}{n} получаем:

n(B+X) > B(n+k),  nX > Bk,  \frac{X}{k} > \frac{B}{n}, то есть, рейтинг изначальной группы Б меньше рейтинга группы «перебежчиков». Кроме того, из неравенства nX > Bk можно получить: nX+kX < Bk+kX,  X(n+k) > k(B+X),  \frac{X}{k} > \frac{B+X}{n+k}, то есть рейтинг увеличенной группы Б также меньше рейтинга группы «перебежчиков».

Таким образом, оба наших вспомогательных утверждения доказаны, ввиду \frac{A}{m} > \frac{X}{k} > \frac{B}{n} и \frac{A-X}{m-k} > \frac{X}{k} > \frac{B+X}{n+k}. Следовательно, одновременное увеличение рейтингов обеих групп возможно лишь при переходах людей в одну сторону (из А в Б) и невозможно при переходе в другую сторону (из Б в А).

в) Расположим по невозрастанию показатели людей в группе А:

a_{1} \geq a_{2} \geq ... \geq a_{10}. Тогда рейтинг группы А до перехода равен \[\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{10}}{10}\], а после перехода он не превосходит a1 (так как средний рейтинг группы не может превосходить наибольший показатель ее участников). Следовательно, после перехода рейтинг группы А увеличился не более чем на a_{1}-\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{10}}{10}= 0,9a_{1}-\frac{a_{2}+a_{3}+...+a_{10}}{10}. Заметим, что сразу все перешедшие не могут иметь показатель умственных способностей 1, так как в этом случае не произойдет рост рейтинга группы Б. Поэтому a_{2} \geq 2 и a_{2}+a_{3}+...+a_{10} \geq 10. Поэтому при рассматриваемом переходе людей рейтинг группы А растет не более чем на 0,9a_{1}-\frac{a_{2}+a_{3}+...+a_{10}}{10} \leq 0,9 \cdot 9-1=7,1. Значение 7,1 достигается в примере, когда в группе А находятся люди с показателями 9, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, а в группе Б все имеют показатель, равный 1. В группу Б переходят все из группы А, кроме человека с показателем 9. Рост рейтинга группы А составляет \frac{9}{1}-\frac{19}{10}=7,1.

Ответ

а) да, б) нет, в) 7,1

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены