Задание №239

Тип задания: 19
Тема: Числа и их свойства

Условие

На полиграфической фабрике страницы тетради пронумерованы числами от 1 до 96. На случайной странице Максим, записал число 0 и пронумеровал все страницы далее до конца тетради числами 1, 2, 3,... и т.д., не пропуская ни одной. Затем он вернулся к странице с записанным 0 и пронумеровал страницы тетради назад числами -1, -2, -3, ... и т.д. до начала тетради без пропусков. Сумма всех записанных чисел в тетради равна S. Определите номер страницы фабричной нумерации, на которой Максим записал число 0, если:

а) S=48;

б) S=4\,560;

в) S=1\,968

Показать решение

Решение

а) Очевидно, что сумма 96 чисел

(-47-46-...-1+0+1+... +\,46+47)+48 равна 48, и понятно, что 0 записан на 48-й странице тетради.

б) Если 0 записан на первой странице, то сумма 96 чисел 0+1+2+3+...+94+95=4\,560. В этом нетрудно убедиться, используя формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии.

в) Рассмотрим таблицу, в первой строке которой записаны номера страниц по фабричной нумерации, а во второй строке номера, записанные Максимом.

12...kk+1k+2...2k2k+12k+22k+3...9596
-k-(k-1)...-101...k-1kk+1k+2...94-k95-k
2k+1 чисел95-2k чисел

Сумма первых 2k+1 чисел равна 0, сумму последних чисел, начиная с k+1 по 95-k, можно найти с помощью формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии. Эта сумма равна 48(95-2k)=S, которую нашел мальчик. Приравняв ее к числу 1\,968, получим уравнение 48(95-2k)=1\,968, поэтому k=27. Число 0 мальчик записал на странице с номером k+1, то есть на 28-й странице.

Ответ

а) 48; б) 1; в) 28.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены