Задание №970

Тип задания: 18
Тема: Уравнения с параметром

Условие

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x^{2}+ax+4=\sqrt{20x^{2}+8ax+16} имеет ровно три различных корня.

Показать решение

Решение

Уравнение x^{2}+ax+4=\sqrt{20x^{2}+8ax+16} при x^{2}+ax+4 < 0 не имеет корней. При x^{2}+ax+4 \geq 0 (1) можно обе части уравнения возвести в квадрат.

(x^{2}+ax+4)^{2}=20x^{2}+8ax+16,

x^{4}+ax^{3}+4x^{2}+ax^{3}+a^{2}x^{2}+ 4ax+4x^{2}+4ax+16= 20x^{2}+8ax+16,

x^{4}+2ax^{3}+x^{2}(a^{2}-12)=0,

x^{2}(x^{2}+2ax+a^{2}-12)=0,

x^{2}((x+a)^{2}-12)=0,

x_{1}=0\,, (x+a-\sqrt{12})(x+a+\sqrt{12})=0,

x_{2}=-a+\sqrt{12},\,x_{3}=-a-\sqrt{12}.

Чтобы исходное уравнение имело три различных корня, необходимо выполнение условия (1) для чисел x_{1}, x_{2}, x_{3} и выполнение условия, что эти числа различны.

x_{2} \neq0 и x_{3} \neq 0, если a \neq \sqrt{12}=2\sqrt{3} и a \neq -\sqrt{12}=-2\sqrt{3}.

Обозначим g(x)=x^{2}+ax+4\,. g(x_{1})=g(0)=4 > 0.

Числа x_{2}=-a+\sqrt{12} и x_{3}=-a-\sqrt{12} будут корнями исходного уравнения, если выполняются условия:

\begin{cases} g(x_{2}) \geq 0, \\ g(x_{3}) \geq 0;\end{cases}

\begin{cases} (-a+\sqrt{12})^{2}+a(-a+\sqrt{12})+4 \geq 0, \\ (-a-\sqrt{12})^{2}+a(-a-\sqrt{12})+4 \geq 0; \end{cases}

\begin{cases} -a\sqrt{12}+16 \geq 0, \\ a\sqrt{12}+16 \geq 0; \end{cases}

\begin{cases} a \leq \frac{8}{\sqrt{3}}, \\ a \geq -\frac{8}{\sqrt{3}}\end{cases}

Таким образом, a \in \left [ -\frac{8}{\sqrt{3}}; -2\sqrt{3}\right ) \cup (-2\sqrt{3}; 2\sqrt{3}) \cup \left (2\sqrt{3}; \frac {8}{\sqrt{3}} \right ].

Ответ

\left[-\frac{8}{\sqrt{3}}; -2\sqrt{3}\right ) \cup (-2\sqrt{3}; 2\sqrt{3}) \cup \left (2\sqrt{3}; \frac{8}{\sqrt{3}}\right ] 

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены