Вариант №1

В заданиях 1-12 предполагается краткий ответ в виде целого числа или десятичной дроби. Дробную часть от целой отделяйте запятой. В ответе не указывайте единицы измерения.

Ответы на задания 13-19 имеют развернутый ответ. Вы можете записать его в текстовое поле в тесте или в тетради. Результаты теста этих заданий будут проверяться вручную на следующем этапе.

прошло: 00:00:00
осталось: 00:00:00
Тестирование приостановлено

Задание 1

Тип задания: 1
Тема: Арифметические задачи с округлением

Условие

На поклейку 4 рулонов обоев расходуется одна пачка обойного клея. Сколько потребуется пачек клея, если необходимо поклеить 54 рулона обоев?

Задание 2

Тип задания: 2
Тема: Диаграммы

Условие

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Сочи за 1920 год. По горизонтали указаны месяцы, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Используя диаграмму определите разность между наибольшей и наименьшей среднемесячной температурой воздуха. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Диаграмма - среднемесячная температура воздуха в Сочи за 1920 год

Задание 3

Тип задания: 3
Тема: Фигуры на квадратной решетке

Условие

На клетчатой решетке с клетками размером 1×1 изображена трапеция. Найдите ее площадь.

Трапеция на клетчатой решетке 1x1

Задание 4

Тип задания: 4
Тема: Классическое определение вероятности случайного события

Условие

В городском такси «Эконом» работает 50 автомобилей, из которых 35 желтого цвета с черными шашечками по бокам, а остальные черного цвета с желтыми шашечками. Найдите вероятность того, что при случайном вызове такси приедет машина черного цвета с желтыми шашечками по бокам.

Задание 5

Тип задания: 5
Тема: Логарифмические уравнения

Условие

Найдите корень уравнения: \log_2(7-x)=5.

Задание 6

Тип задания: 6
Тема: Окружность

Условие

На рисунке изображена окружность с центром O. Угол ACO равен 27^{\circ}. Сторона CA – касательная к окружности. Сторона CO пересекает окружность в точке B. Найдите величину меньшей дуги окружности AB. Ответ дайте в градусах.

Окружность с центром O

Задание 7

Тип задания: 7
Тема: Физический смысл производной

Условие

Закон прямолинейного движения материальной точки равен x(t)=\frac12t^2+2t-15, где

x – расстояние от точки отсчета (м);

t – время с начала движения (с).

Найдите скорость точки в момент времени t = 7 с. Ответ выразите в метрах в секунду

Задание 8

Тип задания: 8
Тема: Цилиндр

Условие

Уровень жидкости в первом сосуде цилиндрической формы достигает 63 см. Диаметр второго сосуда, такой же формы, больше диаметра первого в 3 раза. Определите уровень жидкости, если ее перелить из первого сосуда во второй. Ответ укажите в сантиметрах.

Задание 9

Тип задания: 9
Тема: Числовые иррациональные выражения

Условие

Найдите значение выражения \sqrt{146^2-110^2}.

Задание 10

Тип задания: 10
Тема: Логарифмические уравнения

Условие

Водолазный колокол опускают на дно озера. В начальный период времени в нем находится v = 2 моля воздуха. Во время погружения воздух изотермически сжимается до объема V2, при этом вода совершает работу 15960 Дж, которая вычисляется по формуле:

A=\alpha\cdot v\cdot T\cdot\log_2\frac{V_1}{V_2}

где \alpha=13,3\, Дж/моль · К – постоянная; T = 300K – температура воздуха.

Определите объем V2, который займет воздух после погружения, если начальный объем V1 = 10 литров. Ответ выразите в литрах.

Задание 11

Тип задания: 11
Тема: Задачи на движение

Условие

От станции А к станции В с постоянной скоростью отправился первый поезд. Расстояние между станциями составляет 153 км. Спустя 8 часов после отправления первого поезда, по тому же маршруту выехал второй поезд. Его скорость на 8 км/ч больше, чем у первого. С какой скоростью двигался первый поезд, если на конечную станцию оба поезда прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

Задание 12

Тип задания: 12
Тема: Рациональные функции

Условие

Найдите наибольшее значение функции y=\frac{x^2+400}{x} на отрезке [-28; -2].

Задание 13

Тип задания: 13
Тема: Область допустимых значений (ОДЗ)

Условие

а) Решите уравнение 2\sin ^{4}x+3\cos 2x+1=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left [\pi;3\pi \right ]

Задание 14

Тип задания: 14
Тема: Угол между плоскостями

Условие

Площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равна 144, а площадь боковой поверхности равна 108.

а) Докажите, что угол между плоскостью SAC и плоскостью, которая проходит через вершину S данной пирамиды, середину стороны AB и центр основания, равен 45^{\circ}.

б) Найдите чему равна площадь сечения пирамиды плоскостью SAC.

Задание 15

Тип задания: 15
Тема: Логарифмические неравенства

Условие

Решите неравенство 7^{\ln \left ( x^{2}-2x \right )}\leq \left ( 2-x \right )^{\ln 7}.

Задание 16

Тип задания: 16
Тема: Задачи на доказательство

Условие

В треугольнике ABC в точке M пересекаются три медианы AA_{1}, BB_{1}, CC_{1}. Отрезки MA, MB и MC делят на равные части точки A_{2}, B_{2}, C_{2}.

а) Докажите, что у шестиугольника A_{1}B_{2}C_{1}A_{2}B_{1}C_{2} площадь в два раза меньше площади треугольника.

б) Вычислите сумму квадратов всех сторон шестиугольника, при условии, что AB = 5, BC = 8 и AC = 10.

Задание 17

Тип задания: 17
Тема: Практические задачи

Условие

1 января 2016 года Иван Николаевич взял кредит в банке в размере 1,1 миллион рублей. Кредит необходимо выплачивать следующим образом – 1 числа каждого следующего месяца банк постоянно начисляет 1% на оставшуюся сумму долга (т.е. долг увеличивается на 1%), затем Иван Николаевич переводит платеж в банк. За сколько месяцев Иван Николаевич выплатит кредит, если его ежемесячное его погашение будет не более 275 тыс.руб.?

Задание 18

Тип задания: 18
Тема: Уравнения с параметром

Условие

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение \left | x-a^{2}+a+2 \right |+\left | x-a^{2}+3a-1 \right |=2a-3 имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу (4; 19).

Задание 19

Тип задания: 19
Тема: Арифметическая и геометрическая прогрессии

Условие

Возрастающая конечная арифметическая прогрессия включает в себя различные целые, только, положительные числа. Ученик нашел разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. После чего, ученик добавил к этой прогрессии ее следующий член и заново вычислил точно такую же разность.

а) Напишите пример этой прогрессии, при условии, что разность во второй раз получилась на 48 больше, чем в первый.

б) Разность во второй раз получилась на 1440 больше, чем в первый. Могла ли, при таком условии, прогрессия вначале состоять из 12 членов?

в) Разность во второй раз получилась на 1440 больше, чем в первый. Определите какое самое большое количество членов, вначале, могла содержать прогрессия?