Вариант №2

В заданиях 1-12 предполагается краткий ответ в виде целого числа или десятичной дроби. Дробную часть от целой отделяйте запятой. В ответе не указывайте единицы измерения.

Ответы на задания 13-19 имеют развернутый ответ. Вы можете записать его в текстовое поле в тесте или в тетради. Результаты теста этих заданий будут проверяться вручную на следующем этапе.

прошло: 00:00:00
осталось: 00:00:00
Тестирование приостановлено

Задание 1

Тип задания: 1
Тема: Проценты

Условие

Одна ручка стоит 13 рублей. При продаже более 30 ручек магазин делает скидку в размере 10% от общей стоимости покупки. Сколько денег потратит покупатель, если он купит 40 ручек?

Задание 2

Тип задания: 2
Тема: Диаграммы

Условие

На диаграмме изображена среднемесячная температура воздуха в Анапе за 1992 год. По горизонтали указаны месяцы, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Используя диаграмму определите наименьшую среднемесячную температуру. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Диаграмма - среднемесячная температура воздуха в Анапе за 1992 год

Задание 3

Тип задания: 3
Тема: Фигуры на квадратной решетке

Условие

На клетчатой решетке с клетками размером 1×1 изображен ромб. Найдите его площадь.

Ромб на клетчатой решетке 1x1

Задание 4

Тип задания: 4
Тема: Классическое определение вероятности случайного события

Условие

Дано множество натуральных чисел от 23 до 37. Найдите вероятность того, что при выборе случайного числа из этого множества, оно будет делиться на 5.

Задание 5

Тип задания: 5
Тема: Логарифмические уравнения

Условие

Найдите корень уравнения: \log_7(9-x)=3\log_73.

Задание 6

Тип задания: 6
Тема: Окружность

Условие

На рисунке изображена окружность с центром O. Прямые CA и CB являются касательными к окружности. Меньшая дуга AB равна 64^{\circ}. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Окружность с центром O и двумя прямыми CA и CB

Задание 7

Тип задания: 7
Тема: Физический смысл производной

Условие

Закон прямолинейного движения материальной точки равен x(t)=-\frac13t^4+4t^3-7t^2-5t-5, где

x – расстояние от точки отсчета (м);

t – время с начала движения (с).

Найдите скорость точки в момент времени t = 6 с. Ответ выразите в метрах в секунду

Задание 8

Тип задания: 8
Тема: Цилиндр

Условие

В сосуд цилиндрический формы налили 500 куб. см воды. Определите объем детали полностью погруженной в воду, если после погружения уровень жидкости увеличился в 1,2 раза. Выразите ответ в куб. см.

Задание 9

Тип задания: 9
Тема: Выражения со степенями

Условие

Найдите значение выражения 0,6^{\tfrac{3}{11}}\cdot5^{\tfrac{10}{11}}\cdot45^{\tfrac{4}{11}}.

Задание 10

Тип задания: 10
Тема: Рациональные уравнения

Условие

Собирающая линза с фокусным расстоянием f = 30 см дает четкое увеличенное изображение на экран, если выполняется условие: \frac{1}{d_{1}} + \frac{1}{d_{2}} = \frac{1}{f}, где

d1 – расстояние от предмета до линзы (см);

d2 – расстояние от экрана до линзы (см);

f – фокусное расстояние (см).

Расстояние между экраном и линзой d2 может варьироваться от 90 до 120 см.

Найдите минимальное расстояние от предмета до линзы, чтобы его изображение на экране оставалось четким. Ответ укажите в сантиметрах.

Задание 11

Тип задания: 11
Тема: Задачи на проценты

Условие

В двух сплавах имеется различное содержание кобальта. В первом – 25%, во втором – 30% кобальта. На производстве из них был получен третий сплав общей массой 150 кг, в котором содержится 28% кобальта. Определите разницу в весе двух сплавов. Ответ дайте в килограммах.

Задание 12

Тип задания: 12
Тема: Рациональные функции

Условие

Найдите точку максимума функции y=-\frac{x^2+19600}{x}.

Задание 13

Тип задания: 13
Тема: Показательно-тригонометрические уравнения

Условие

а) Решите уравнение (16^{\sin x})^{\cos x}=\left ( \frac{1}{4} \right )^{\sqrt{3}\sin x}

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left [ 2\pi ; \frac{7\pi }{2} \right ]

Задание 14

Тип задания: 14
Тема: Площадь сечения

Условие

Правильная треугольная пирамида SABC (ABC — основание) имеет боковое ребро SA=SB=SC=8 и сторону основания AB=BC=AC=12. На середине ребер SB и SC были соответственно взяты точки E и F. Плоскость \alpha, которой принадлежит прямая EF, перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость \alpha делит биссектрису основания пирамиды AA_1 в отношении 5:1, считая от точки A.

б) Вычислите площадь сечения пирамиды SABC плоскостью \alpha.

Задание 15

Тип задания: 15
Тема: Показательные неравенства

Условие

Решите неравенство \frac{3}{(2^{2-x^2}-1)^{2}}-\frac{4}{2^{2-x^2}-1}+1\geq 0.

Задание 16

Тип задания: 16
Тема: Многоугольники

Условие

Известно, что ABCDE — выпуклый пятиугольник.

а) Докажите, что сумма длин диагоналей пятиугольника меньше удвоенного периметра.

б) Найдите сумму длин диагоналей данного пятиугольника, если \bigtriangleup BED - равносторонний, AB=AE=BC=CD=\sqrt{3}, \angle BAE=\angle ABC=\angle BCD.

Задание 17

Тип задания: 17
Тема: Практические задачи

Условие

31 декабря 2013 года Анатолий под 14,5% годовых взял кредит в банке в размере 4 290 000 рублей. Кредит должен выплачиваться следующим образом: банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга 31 декабря каждого следующего года (иными словами, долг увеличивает на 14,5%), после чего Анатолий переводит в банк x рублей. Какой суммой должен быть x, чтобы Анатолий смог выплатить свой кредит двумя равными платежами (т.е. за два года)?

Задание 18

Тип задания: 18
Тема: Уравнения с параметром

Условие

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \left | x-a^{2}+4a-2 \right |+\left | x-a^{2}+2a+3 \right |=2a-5

имеет хотя бы один корень на отрезке \left [ 5; 23 \right ].

Задание 19

Тип задания: 19
Тема: Арифметическая и геометрическая прогрессии

Условие

Возрастающая конечная арифметическая прогрессия включает в себя различные целые, только, положительные числа. Ученик нашел разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. После чего, ученик добавил к этой прогрессии ее следующий член и заново вычислил точно такую же разность.

а) Напишите пример этой прогрессии, при условии, что разность во второй раз получилась на 40 больше, чем в первый.

б) Разность во второй раз получилась на 1768 больше, чем в первый. Могла ли, при таком условии, прогрессия вначале состоять из 13 членов?

в) Разность во второй раз получилась на 1768 больше, чем в первый. Определите, какое наибольшее количество членов, вначале, могла содержать прогрессия?