Вариант №3

В заданиях 1-12 предполагается краткий ответ в виде целого числа или десятичной дроби. Дробную часть от целой отделяйте запятой. В ответе не указывайте единицы измерения.

Ответы на задания 13-19 имеют развернутый ответ. Вы можете записать его в текстовое поле в тесте или в тетради. Результаты теста этих заданий будут проверяться вручную на следующем этапе.

прошло: 00:00:00
осталось: 00:00:00
Тестирование приостановлено

Задание 1

Тип задания: 1
Тема: Арифметические задачи с округлением

Условие

На пошив одного костюма расходуется 1,4 катушек ниток. Какое минимальное количество катушек нужно купить чтобы сшить 8 костюмов?

Задание 2

Тип задания: 2
Тема: Диаграммы

Условие

На диаграмме изображена среднемесячная температура воздуха в Уфе за 1971 год. По горизонтали указаны месяцы, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Используя диаграмму определите, сколько месяцев среднемесячная температура не превышала 6 градусов Цельсия.

Диаграмма - среднемесячная температура воздуха в Уфе за 1971 год

Задание 3

Тип задания: 3
Тема: Фигуры на квадратной решетке

Условие

На клетчатой решетке с клетками размером 1×1 изображена трапеция. Найдите ее площадь.

Трапеция на клетчатой решетке 1x1

Задание 4

Тип задания: 4
Тема: Сложение и умножение вероятностей событий

Условие

Гелием наполняются два воздушных шара. Вероятность того, что один воздушный шар лопнет в течение месяца составляет 0,2. Найдите вероятность того, что в течение месяца хотя бы один шар не лопнет.

Задание 5

Тип задания: 5
Тема: Показательные уравнения

Условие

Найдите корень уравнения: \left(\frac13\right)^{x-7}=3^x

Задание 6

Тип задания: 6
Тема: Окружность

Условие

Угол ACB равен 54^{\circ}. Градусная мера дуги AB окружности, не содержащих точек D и E, равна 138^{\circ}. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.

Окружность с центром O

Задание 7

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

График дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к графикуНа рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к графику в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x_0.

Задание 8

Тип задания: 8
Тема: Призма

Условие

В основании треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 провели среднюю линию MN, из которой, параллельно боковому ребру, подняли плоскость MNM_1N_1. Определите площадь боковой поверхности исходной призмы BCB_1C_1, если площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы BNN_1B_1 составляет 79 см2. Ответ выразите в квадратных сантиметрах.

Треугольная призма

Задание 9

Тип задания: 9
Тема: Тригонометрические выражения

Условие

Найдите значение выражения -22\sqrt{3}\cos(-930^{\circ}).

Задание 10

Тип задания: 10
Тема: Логарифмические уравнения

Условие

Для обогрева комнаты используется радиатор, через который пропускают горячую воду, имеющую температуру T_B=57^{\circ}C. Расход воды, проходящей через трубу радиатора, равен m = 0,3 кг/с. Длина трубы составляет 56 м. После прохождения через трубу некоторого расстояния x вода частично охлаждается до температуры T, а в комнате поддерживается температура T_K=25^{\circ}C, причем:

x=\alpha \cdot \frac{cm}{\gamma }\cdot \log_2 \frac{T_B-T_K}{T-T_K}, где:

c = 4200  – удельная теплоемкость воды;

\alpha = 1,4 – постоянная;

\gamma = 63  – коэффициент теплообмена.

Определите температуру воды после прохождения радиатора.

Задание 11

Тип задания: 11
Тема: Задачи на совместную работу

Условие

Через первую трубу в бассейн попадает на 8 литров воды в минуту меньше, чем через вторую. Определите, сколько первая труба пропускает литров в минуту, если она заполняет бассейн объемом 180 литров на 8 минут дольше второй.

Задание 12

Тип задания: 12
Тема: Иррациональные функции

Условие

Найдите наименьшее значение функции y=\sqrt{x^2+10x+106}.

Задание 13

Тип задания: 13
Тема: Область допустимых значений (ОДЗ)

Условие

а) Найдите корни уравнения: \cos 2x + 3\sqrt{3}\sin (\frac{3\pi }{2}+x)-5=0.

б) Какие из этих корней принадлежат отрезку \begin{bmatrix} 2\pi ; \frac{7\pi }{2} \end{bmatrix} ?

Задание 14

Тип задания: 14
Тема: Угол между прямой и плоскостью

Условие

Площадь сечения, плоскостью SAC, правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 32\sqrt{3}, а площадь основания пирамиды ABCD равна 64.

а) Докажите, что угол между плоскостью основания, правильной четырехугольной пирамиды и боковым ребром равен 60^{\circ}.

б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Задание 15

Тип задания: 15
Тема: Показательные неравенства

Условие

Решите неравенство: \frac{4^x+2}{4^x-8}+\frac{4^x}{4^x-4}+\frac{8}{16^x-12\cdot 4^x+32}\leq 0.

Задание 16

Тип задания: 16
Тема: Задачи на доказательство

Условие

В треугольнике ABC окружность проходит через точки B и C и пересекает стороны AB и AC в точках M и N соответственно. Отрезок MN касается окружности, вписанной в треугольник ABC.

а) Докажите, что \bigtriangleup ABC подобен \bigtriangleup ANM.

б) Найдите MN, если AB=7, AC=8, BC=9.

Задание 17

Тип задания: 17
Тема: Практические задачи

Условие

10 июня в банке взяли кредит сроком на год и три месяца. Каждый месяц третьего числа долг возрастает на a% в сравнении с концом предыдущего месяца. С четвертого по девятое число каждого месяца нужно выплатить часть долга, при этом десятого числа долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на десятое число предыдущего месяца.

Найдите a, если сумма выплаченных денег после погашения кредита на 16% больше суммы денег, взятых в кредит.

Задание 18

Тип задания: 18
Тема: Системы уравнений с параметром

Условие

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений имеет более двух возможных решений.

\begin{cases}8x-8y-40=\left | x^{2}+y^{2}-25 \right |, \\ y=ax-5 \end{cases}

Задание 19

Тип задания: 19
Тема: Сюжетные задачи из жизни

Условие

Учащиеся средней школы решали тест и каждый из учеников за него мог получить какое-то положительное число баллов. Для того, чтобы сдать тест, нужно было набрать не менее 50 баллов. Для улучшения результатов тестирования, каждому участнику добавили по 5 баллов, поэтому количество сдавших его увеличилось. Подумайте и решите:

а) Возможно ли после этого понижение среднего балла у учеников не сдавших тест?

б) Возможно ли после этого понижение среднего балла у учеников не сдавших тест и при этом средний балл сдавших тоже понизился?

в) Пусть первоначально средний балл учеников, сдавших тест, составил 60 баллов, не сдавших – 40 баллов, а общий средний балл составил 50 баллов. После добавления баллов средний балл сдавших учеников стал равен 63 баллам, а не сдавших – 43. Определите наименьшее число участников, при котором возможна такая ситуация?