Вариант №47103

В заданиях 1-12 предполагается краткий ответ в виде целого числа или десятичной дроби. Дробную часть от целой отделяйте запятой. В ответе не указывайте единицы измерения.

Ответы на задания 13-19 имеют развернутый ответ. Вы можете записать его в текстовое поле в тесте или в тетради. Результаты теста этих заданий будут проверяться вручную на следующем этапе.

прошло: 00:00:00
осталось: 00:00:00
Тестирование приостановлено

Задание 1

Тип задания: 1
Тема: Арифметические задачи с округлением

Условие

Килограмм персиков стоит 120 рублей. Катя купила 2 кг 400 г персиков. Сколько рублей сдачи получила Катя с 500 рублей?

Задание 2

Тип задания: 2
Тема: Графики

Условие

На графике изображена зависимость крутящего момента автомобильного двигателя от числа его оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту. На оси ординат — крутящий момент в Н·м.

Чтобы автомобиль начал движение, крутящий момент должен быть не менее 80 Н·м. Какое наименьшее число оборотов двигателя в минуту достаточно, чтобы автомобиль начал движение?

График зависимости крутящего момента двигателя от числа оборотов в минуту

Задание 3

Тип задания: 3
Тема: Фигуры на квадратной решетке

Условие

На клетчатой решетке изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9\pi. Найдите площадь заштрихованной фигуры. В ответе запишите результат \frac{S}{\pi}.

Два круга на клетчатой решетке

Задание 4

Тип задания: 4
Тема: Классическое определение вероятности случайного события

Условие

В сборнике билетов по физике всего 35 билетов, в 14 из них встречается вопрос по теме «Механика». Найдите вероятность того, при случайном выборе билета, школьнику на экзамене попадётся билет с вопросом по теме «Механика».

Задание 5

Тип задания: 5
Тема: Квадратные, кубические и линейные уравнения

Условие

Найдите корень уравнения: \frac{6}{13}x^2=19\frac{1}{2}

Если уравнение имеет несколько корней, то запишите наибольший из них.

Задание 6

Тип задания: 6
Тема: Прямоугольный треугольник

Условие

В треугольнике ABC\:\angle C=90^{\circ}, CH — высота, BC=14,\, \sin A=0,7. Найдите BH.

Прямоугольный треугольник ABC с высотой CH

Задание 7

Тип задания: 7
Тема: Физический смысл производной

Условие

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=-t^4+7t^3+6t+16, где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=5 с.

Задание 8

Тип задания: 8
Тема: Многогранник

Условие

Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Многогранник с прямыми двугранными углами

Задание 9

Тип задания: 9
Тема: Числовые рациональные выражения

Условие

Найдите значение выражения \frac{1,21\cdot17,8}{12,1\cdot1,78}.

Задание 10

Тип задания: 10
Тема: Линейные уравнения

Условие

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных изданий на основе показателей информативности In, оперативности Op и объективности Tr публикаций. Каждый показатель имеет целочисленное значение от -4 до 4. При составлении рейтинга учитывались следующие особенности: информативность публикаций ценится втрое, а ценность объективности вдвое больше, чем оперативности. На основе этих предположений формула рейтинга имеет вид: R=\frac{3In+Op+2Tr}{A}. При каком значении числа A издание имеющее все максимальные показатели получит рейтинг 48.

Задание 11

Тип задания: 11
Тема: Задачи на движение

Условие

Мотоциклист проехал расстояние в 180 км от A до B с постоянной скоростью. На следующий день он проехал это же расстояние в обратную сторону из B в A со скоростью на 10 км/ч меньше прежней. Возвращаясь, он сделал остановку на 24 минуты и в итоге на дорогу из B в A ушло времени на 1 час больше, чем в прошлый раз на путь из A в B. Найдите скорость мотоциклиста на пути из A и B. Ответ дайте в км/ч.

Задание 12

Тип задания: 12
Тема: Рациональные функции

Условие

Найдите точку минимума функции y=\frac{x^2+10\,000}{x}.

Задание 13

Тип задания: 13
Тема: Область допустимых значений (ОДЗ)

Условие

а) Решите уравнение 2\log_{2}^{2}(2 \sin x)-3\log_{2}(2 \sin x)+1=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left [ \frac{3\pi}{2}; 3\pi\right ]

Задание 14

Тип задания: 14
Тема: Угол между плоскостями

Условие

Основанием прямой призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1} является ромб с тупым углом B, равным 120^\circ. Все ребра этой призмы равны 10. Точки P и K — середины ребер CC_{1} и CD соответственно.

а) Докажите, что прямые PK и PB_{1} перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями PKB_{1} и C_{1}B_{1}B.

Задание 15

Тип задания: 15
Тема: Логарифмические неравенства с переменным основанием

Условие

Решите неравенство \log_{|x+2|}(12+4x-x^{2}) \leq 2.

Задание 16

Тип задания: 16
Тема: Задачи на доказательство

Условие

ABCD — прямоугольник. Окружность с центром в точке A радиуса AD пересекает продолжение стороны DA в точке K. Прямая KB пересекает прямую CD в точке P, а окружность во второй раз — в точке M.

а) Докажите, что CP=CM.

б) Найдите BD, если AM=15, MC=8.

Задание 17

Тип задания: 17
Тема: Практические задачи

Условие

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на сумму S млн. рублей, где S — целое число, на 4 года. Условия возврата таковы:

  • в январе каждого следующего года долг повышается на 20% по отношению к концу прошедшего года;
  • с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
  • долг на июль месяц каждого года должен составлять часть кредита в соответствии с нижеприведённой таблицей:
Год20162017201820192020
Долг (мин. руб.)S0,7S0,4S0,2S0

Найдите наименьшее значение S, чтобы общая сумма выплат по кредиту была больше 20 млн рублей.

Задание 18

Тип задания: 18
Тема: Уравнения с параметром

Условие

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение \frac{x^{3}+x^{2}-16a^{2}x-5x+a}{x^{3}-16a^{2}x}=1 имеет единственный корень.

Задание 19

Тип задания: 19
Тема: Числа и их свойства

Условие

На доске записаны числа 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ... 18. За один ход разрешается стереть произвольно три числа, сумма которых меньше 32. Суммы троек стёртых чисел на каждом из ходов должны быть различными.

а) Напишите пример последовательных трёх ходов.

б) Возможно ли сделать 5 ходов?

в) Определите наибольшее возможное число ходов, которые можно сделать?