Вариант №47107

В заданиях 1-12 предполагается краткий ответ в виде целого числа или десятичной дроби. Дробную часть от целой отделяйте запятой. В ответе не указывайте единицы измерения.

Ответы на задания 13-19 имеют развернутый ответ. Вы можете записать его в текстовое поле в тесте или в тетради. Результаты теста этих заданий будут проверяться вручную на следующем этапе.

прошло: 00:00:00
осталось: 00:00:00
Тестирование приостановлено

Задание 1

Тип задания: 1
Тема: Арифметические задачи с округлением

Условие

Бегун пробежал 120 м за 12 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции. Ответ дайте в километрах в час.

Задание 2

Тип задания: 2
Тема: Графики

Условие

На рисунке жирными точками показана цена нефти на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 18 по 28 августа 2004 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена барреля нефти в долларах США. Для наглядности точки графика соединены линией. Определите по рисунку наименьшую цену нефти на момент закрытия торгов в период с 18 по 21 августа. Ответ выразите в долларах США за баррель.

График - цена нефти на момент закрытия биржевых торгов с 18 по 28 августа 2004 года.

Задание 3

Тип задания: 3
Тема: Фигуры на квадратной решетке

Условие

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Параллелограмм на клетчатой решетке с размером клетки 1x1

Задание 4

Тип задания: 4
Тема: Классическое определение вероятности случайного события

Условие

В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в посёлок в магазин. Найдите вероятность того, что Максим, входящий в состав группы, пойдёт в магазин?

Задание 5

Тип задания: 5
Тема: Квадратные, кубические и линейные уравнения

Условие

Найдите корень уравнения x^2-19x+90=0.

Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Задание 6

Тип задания: 6
Тема: Равнобедренный треугольник

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC стороны AB = BC, AC = 16, CH = 4. Найдите синус угла ACB.

Равнобедренный треугольник ABC

Задание 7

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

Прямая y=5x+17 является касательной к графику функции y=12x^2+bx+20. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Задание 8

Тип задания: 8
Тема: Многогранник

Условие

На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите расстояние между вершинами A и C_2.

Многогранник с прямыми двугранными углами

Задание 9

Тип задания: 9
Тема: Алгебраические выражения

Условие

Найдите значение выражения (16a^2-25)\cdot\left ( \frac{1}{4a-5}-\frac{1}{4a+5} \right )+a-13 при a=143.

Задание 10

Тип задания: 10
Тема: Рациональные уравнения

Условие

Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле A(\omega)=\frac{A_0\omega_p^2}{|\omega_p^2-\omega^2|}, где

\omega — частота вынуждающей силы (в с−1);

A_0 — постоянное положительное значение;

\omega_p=420 с−1 — резонансная частота.

Найдите максимальную частоту \omega, меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину A_0 не более, чем на \frac{1}{24} от A_0. Ответ выразите в c−1.

Задание 11

Тип задания: 11
Тема: Задачи на движение

Условие

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми 288 км. На следующий день он поехал обратно со скоростью на 6 км/ч больше прежней. По пути велосипедист останавливался и отдыхал 4 часа. В итоге на возвращение в город A у него ушло сколько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

Задание 12

Тип задания: 12
Тема: Иррациональные функции

Условие

Найдите наименьшее значение функции y=x\sqrt x-6x+2000 на отрезке [2; 30].

Задание 13

Тип задания: 13
Тема: Область допустимых значений (ОДЗ)

Условие

а) Решите уравнение \frac{\cos 2 \pi x}{1+ctg \pi x}=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left [ -2\frac{3}{7}; 1,5 \right ].

Задание 14

Тип задания: 14
Тема: Угол между плоскостями

Условие

Дана правильная призма ABCDA_1B_1C_1D_1, M и N — середины ребер AB и BC соответственно, точка K — середина MN.

а) Докажите, что прямые KD_1 и MN перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями MND_1 и ABC, если AB=8, AA_1=6\sqrt 2.

Задание 15

Тип задания: 15
Тема: Логарифмические неравенства с переменным основанием

Условие

Решите неравенство \log_x2+2\log_{2x}2\geqslant 2.

Задание 16

Тип задания: 16
Тема: Окружности и треугольники

Условие

В треугольнике ABC с прямым углом C MN — средняя линия, параллельная стороне AC. Биссектриса угла A пересекает луч MN в точке K.

а) Докажите, что \bigtriangleup BKC \sim \bigtriangleup AMK.

б) Найдите отношение S_{BKC}:S_{AMK}, если \cos \angle BAC=0,6.

Задание 17

Тип задания: 17
Тема: Практические задачи

Условие

В мае планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

  • каждый год в январе месяце долг повышается на 10% по сравнению с концом прошедшего года;
  • с февраля по апрель каждого года нужно выплатить часть долга;
  • долг в мае каждого года должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на май предыдущего года.

На сколько лет берется кредит, если известно, что сумма всех выплат по кредиту составит 6 млн. рублей?

Задание 18

Тип задания: 18
Тема: Уравнения с параметром

Условие

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \frac{x^2+ax+2}2=\sqrt {4x^2+ax+1} имеет ровно три различных корня.

Задание 19

Тип задания: 19
Тема: Числа и их свойства

Условие

На столе перед нумизматом лежит 200 монет орлом кверху. За один ход нумизмат переворачивает любые 4 разные монеты. Разрешено так же переворачивать те монеты, которые уже переворачивались ранее.

а) Может ли в результате нескольких ходов ровно 6 монет выпасть кверху решкой?

б) Может ли в результате нескольких ходов ровно 3 монеты выпасть кверху решкой?

в) Найдите наибольшее число монет, которое может выпасть кверху решкой, если хотя бы одна монета должна в конечном итоге выпасть кверху орлом?