Вариант №47109

В заданиях 1-12 предполагается краткий ответ в виде целого числа или десятичной дроби. Дробную часть от целой отделяйте запятой. В ответе не указывайте единицы измерения.

Ответы на задания 13-19 имеют развернутый ответ. Вы можете записать его в текстовое поле в тесте или в тетради. Результаты теста этих заданий будут проверяться вручную на следующем этапе.

прошло: 00:00:00
осталось: 00:00:00
Тестирование приостановлено

Задание 1

Тип задания: 1
Тема: Арифметические задачи с округлением

Условие

Для приготовления дрожжевого теста на 1 кг муки требуется 13 г сухих дрожжей. Сухие дрожжи продаются в пакетиках по 10 г. Какое наименьшее число пакетиков сухих дрожжей нужно купить для приготовления теста из 3 кг муки?

Задание 2

Тип задания: 2
Тема: Графики

Условие

Когда самолет находится в горизонтальном полете, подъемная сила, действующая на крылья, зависит только от скорости. На рисунке изображена эта зависимость для некоторого самолета. На оси абсцисс откладывается скорость (в километрах в час), на оси ординат — сила (в тонна-силах). Используя рисунок определите, какая сила действует на крылья самолета (в тонна-силах) при скорости 400 км/ч.

Зависимость подъемной силы от скорости, действующей на крылья самолета

Задание 3

Тип задания: 3
Тема: Фигуры на квадратной решетке

Условие

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки A и B. Найдите длину отрезка AB.

Точки A и B на клетчатой решетке с размером клетки 1x1

Задание 4

Тип задания: 4
Тема: Классическое определение вероятности случайного события

Условие

В секции 21 спортсмен, среди них два друга — Андрей и Михаил. Спортсменов случайным образом делят на 3 равные группы. Какова вероятность того, что спортсмены Андрей и Михаил попадут в одну и ту же группу.

Задание 5

Тип задания: 5
Тема: Рациональные уравнения

Условие

Найдите корень уравнения: \frac{1}{8x+3}=5

Задание 6

Тип задания: 6
Тема: Равнобедренный треугольник

Условие

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30^{\circ}. Боковая сторона треугольника равна 14. Найдите площадь этого треугольника.

Равнобедренный треугольник

Задание 7

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) параллельна прямой y=3x+2 или совпадает с ней.

График y=f'(x) — производной функции f(x)

Задание 8

Тип задания: 8
Тема: Параллелепипед

Условие

Прямоугольный параллелепипед имеет следующие длины ребер AB=7, AD=24, AA_1=18. Найдите синус угла между прямыми CD и A_1C_1.

Задание 9

Тип задания: 9
Тема: Числовые иррациональные выражения

Условие

Найдите значение выражения 3\cdot\sqrt[6]{16}\cdot\sqrt[3]{16}.

Задание 10

Тип задания: 10
Тема: Рациональные уравнения

Условие

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 149 МГц. Скорость погружения батискафа равна 10 м/с и вычисляется по формуле v=c\cdot\frac{f-f_0}{f+f_0}, где

c = 1500 м/с — скорость звука в воде,

f_0 — частота импульсов, испускаемых локатором (в МГц),

f — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц).

Определите частоту отражённого от дна сигнала. Ответ укажите в МГц.

Задание 11

Тип задания: 11
Тема: Задачи на движение

Условие

Из двух посёлков, расстояние между которыми 88 км, навстречу друг другу одновременно выехали два велосипедиста. Через сколько часов велосипедисты встретятся, если их скорости равны 18 км/ч и 22 км/ч?

Задание 12

Тип задания: 12
Тема: Иррациональные функции

Условие

Найдите точку минимума функции y=x\sqrt x-9x+724.

Задание 13

Тип задания: 13
Тема: Область допустимых значений (ОДЗ)

Условие

а) Решите уравнение \frac{\sin x+1}{1-\cos 2x}=\frac{\sin x+1}{1+ \cos \left ( \dfrac{\pi}{2}+x \right )}.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left [-\frac{3 \pi}{2};-\frac{\pi}{2} \right ].

Задание 14

Тип задания: 14
Тема: Площадь сечения

Условие

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 стороны оснований AB и BC равны соответственно 8 и 5, а боковое ребро AA_1 равно 4. На ребре A_1 B_1 отмечена точка K, а на луче BC — точка F, причем A_1 K=KB_1 и BF=AB. Плоскость AKF пересекает ребро B_1 C_1 в точке P.

а) Докажите, что B_1 P:PC_1=4:1.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью AKF.

Задание 15

Тип задания: 15
Тема: Показательные неравенства

Условие

Решите неравенство \left | 2^{x}-3 \right | \geq 4+\frac{1}{6-\left | 2^{x}-3 \right |}.

Задание 16

Тип задания: 16
Тема: Окружности и треугольники

Условие

В окружность с центром O вписан остроугольный треугольник ABC, в котором проведена медиана AF, причём \angle FAC=\angle OCA.

а) Докажите, что точка O лежит на медиане AF.

б) Найдите площадь треугольника AOC, если \angle BAC=60^\circ, AB=12\sqrt{3}.

Задание 17

Тип задания: 17
Тема: Практические задачи

Условие

Фермер для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться 6 единиц питательного вещества A и не менее 12 единиц питательного вещества B. Сколько требуется расходовать корма каждого вида ежедневно на одно животное при минимальных затратах? Используйте данные таблицы.

Питательное веществоКоличество питательных веществ в 1 кг корма
 Вид IВид II
A21
B24
Цена 1 кг корма (ден. ед.)0,20,3

Задание 18

Тип задания: 18
Тема: Системы уравнений с параметром

Условие

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

\begin{cases} y=\sqrt{-5-6x-x^{2}},\\ y-ax=2-3a\end{cases} имеет ровно два решения.

Задание 19

Тип задания: 19
Тема: Числа и их свойства

Условие

Пусть S(x) — сумма чисел натурального числа x. Решите уравнения:

а) x+S(x)=2015;

б) x+S(x)+S(S(x))=2015;

в) x+S(x)+S(S(x))+S(S(S(x)))= 2015.