Вариант №47113

В заданиях 1-12 предполагается краткий ответ в виде целого числа или десятичной дроби. Дробную часть от целой отделяйте запятой. В ответе не указывайте единицы измерения.

Ответы на задания 13-19 имеют развернутый ответ. Вы можете записать его в текстовое поле в тесте или в тетради. Результаты теста этих заданий будут проверяться вручную на следующем этапе.

прошло: 00:00:00
осталось: 00:00:00
Тестирование приостановлено

Задание 1

Тип задания: 1
Тема: Проценты

Условие

Среди 60 000 жителей города 80% не интересуются легкой атлетикой. Среди болельщиков по этому виду спорта лишь 70% смотрело соревнования по телевизору. Сколько жителей города смотрело соревнования по телевизору?

Задание 2

Тип задания: 2
Тема: Графики

Условие

На графике изображена зависимость крутящего момента автомобильного двигателя от числа его оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту. На оси ординат — крутящий момент в Н·м. Чтобы автомобиль начал движение, крутящий момент должен быть не менее 50 Н·м. Какое наименьшее число оборотов двигателя в минуту достаточно, чтобы автомобиль начал движение?

График зависимости крутящего момента автомобильного двигателя от числа его оборотов в минуту

Задание 3

Тип задания: 3
Тема: Фигуры на квадратной решетке

Условие

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его медианы, проведённой из вершины C.

Треугольник ABC на клетчатой решетке с размером клетки 1x1

Задание 4

Тип задания: 4
Тема: Классическое определение вероятности случайного события

Условие

В сборнике билетов по химии всего 30 билетов, в 18 из них встречается вопрос по теме «Щёлочь». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном билете на экзамене ученику не попадется вопрос по теме «Щёлочь».

Задание 5

Тип задания: 5
Тема: Рациональные уравнения

Условие

Найдите корень уравнения \frac{16}{x^2-48}=1. Если уравнение имеет более одного корня, запишите меньший из корней.

Задание 6

Тип задания: 6
Тема: Треугольник общего вида

Условие

К сторонам треугольника равным 12 и 8 проведены высоты. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Найдите длину высоты, проведенной ко второй стороне.

Треугольник с двумя высотами

Задание 7

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

График y=f'(x) — производной функции f(x).

Задание 8

Тип задания: 8
Тема: Куб

Условие

Во сколько раз увеличится объем куба, если все его ребра увеличить в семь раз?

Куб

Задание 9

Тип задания: 9
Тема: Буквенные иррациональные выражения

Условие

Найдите значение выражения \frac{2\sqrt x-7}{\sqrt x}+\frac{7\sqrt x}{x}.

Задание 10

Тип задания: 10
Тема: Квадратные и степенные уравнения

Условие

По боковой стенке промышленного цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После открытия крана вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону H(t)=H_0-kt\sqrt{2gH_0}+\frac{g}{2}k^2t^2, где

H_0=45 м — начальный уровень воды;

t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана;

k=\frac{1}{50} — отношение площадей поперечных сечений крана и бака;

g = 10 м/с2 — ускорение свободного падения.

К какому моменту времени высота столба воды в баке составит не более 20 м? Ответ выразите в секундах.

Задание 11

Тип задания: 11
Тема: Задачи на движение

Условие

Два мотоциклиста выехали одновременно из города A в город B, расстояние между которыми 171 км. За один час первый мотоциклист проезжает расстояние на 40 км больше второго мотоциклиста. Найдите скорость второго мотоциклиста, если он приехал в пункт В на 2,5 часа позже первого. Ответ дайте в км/ч.

Задание 12

Тип задания: 12
Тема: Степенные функции

Условие

Найдите точку максимума функции y=(x+7)^2(x-6)+11.

Задание 13

Тип задания: 13
Тема: Область допустимых значений (ОДЗ)

Условие

а) Решите уравнение: \sin ^2x+\sin ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\cos ^2\frac\pi 3.

б) Укажите все корни, принадлежащие промежутку \left[ \frac{7\pi }2;\,\frac{9\pi }2\right).

Задание 14

Тип задания: 14
Тема: Площадь сечения

Условие

В правильной четырёхугольной призме ABCDA_1 B_1C_1 D_1 сторона основания равна 7, а боковое ребро — 12. На рёбрах A_1D_1, C_1D_1 и CB взяты точки F, К, L соответственно так, что A_1F=C_1K=CL=3.

а) Пусть P — точка пересечения плоскости FKL с ребром AB. Докажите, что FKLP — прямоугольник.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью FKL.

Задание 15

Тип задания: 15
Тема: Показательные неравенства

Условие

Решите неравенство 3^{3x}-3^{x+1}\cdot 2^{2x}+18^x-3\cdot 8^x\geqslant 0.

Задание 16

Тип задания: 16
Тема: Окружности и треугольники

Условие

Точка M — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника NPK, — центр вписанной в него окружности, — точка пересечения высот. Известно, что \angle PNK=\angle MPK+\angle MKP.

а) Докажите, что точка Q лежит на окружности, описанной около треугольника PMK.

б) Найдите угол MQW, если \angle NPK=47^{\circ}.

Задание 17

Тип задания: 17
Тема: Практические задачи

Условие

Вкладчик внёс в банк S млн рублей, где — целое число, под 20% годовых. По истечении двух лет он увеличил вклад на 3 млн рублей. Найдите наименьшее значение S, если за 4 года банк начислил ему более 6 млн рублей.

Задание 18

Тип задания: 18
Тема: Системы уравнений с параметром

Условие

При каких значениях параметра a система

\begin{cases} 5|x|+12|y-2|=60, \\ y^2-a^2=4(y-1)-x^2\end{cases}

имеет ровно 4 решения?

Задание 19

Тип задания: 19
Тема: Числа и их свойства

Условие

На доске написано более 20, но менее 30 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 5, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -10.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?