Вариант №47114

В заданиях 1-12 предполагается краткий ответ в виде целого числа или десятичной дроби. Дробную часть от целой отделяйте запятой. В ответе не указывайте единицы измерения.

Ответы на задания 13-19 имеют развернутый ответ. Вы можете записать его в текстовое поле в тесте или в тетради. Результаты теста этих заданий будут проверяться вручную на следующем этапе.

прошло: 00:00:00
осталось: 00:00:00
Тестирование приостановлено

Задание 1

Тип задания: 1
Тема: Проценты

Условие

При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 15%. Терминал принимает суммы, кратные 10 рублям. Александр хочет положить на счет своего мобильного телефона не меньше 400 рублей. Какую минимальную сумму (в рублях) он должен положить в приемное устройство данного терминала?

Задание 2

Тип задания: 2
Тема: Графики

Условие

На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, сколько минут двигатель нагревался от температуры 30 ^{\circ}C до температуры 70 ^{\circ}C.

График разогрева двигателя легкового автомобиля

Задание 3

Тип задания: 3
Тема: Фигуры на квадратной решетке

Условие

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображен треугольник ABC. Найдите длину его высоты, опущенной на сторону AB.

Треугольник ABC на клетчатой решетке

Задание 4

Тип задания: 4
Тема: Классическое определение вероятности случайного события

Условие

Цех выпускает швейные машинки. В среднем 26 швейных машинок из 300 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная машинка не будет иметь дефектов. Результат округлите до сотых.

Задание 5

Тип задания: 5
Тема: Рациональные уравнения

Условие

Найдите корень уравнения x=\frac{3x-8}{x+9}. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Задание 6

Тип задания: 6
Тема: Треугольник общего вида

Условие

В треугольнике ABC угол A равен 48^{\circ}, угол C равен 62^{\circ}. На продолжении стороны AB за точку B отложен отрезок BD, равный стороне BC. Найдите угол D треугольника BCD. Ответ дайте в градусах.

Треугольник ABC с продолжением стороны AB

Задание 7

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

Прямая y=-2x+5 является касательной к графику функции y=ax^2+2x+7. Найдите a.

Задание 8

Тип задания: 8
Тема: Куб

Условие

При увеличении ребра куба на 3 его площадь поверхности увеличивается на 306. Найдите ребро куба.

Куб и куб с увеличенной стороной

Задание 9

Тип задания: 9
Тема: Буквенные иррациональные выражения

Условие

Найдите значение выражения \sqrt{(a-3)^2}+\sqrt{(a-13)^2} при 3\leq a\leq 13.

Задание 10

Тип задания: 10
Тема: Квадратные и степенные уравнения

Условие

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t)=1+8t-5t^2, где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее четырёх метров?

Задание 11

Тип задания: 11
Тема: Задачи на движение

Условие

Моторная лодка прошла против течения реки 160 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 8 часов меньше времени. Известно, что в неподвижной воде лодка движется со скоростью 15 км/ч. Найдите скорость течения реки. Ответ дайте в км/ч.

Задание 12

Тип задания: 12
Тема: Степенные функции

Условие

Найдите точку минимума функции y=2x^3+36x^2+162x+57.

Задание 13

Тип задания: 13
Тема: Область допустимых значений (ОДЗ)

Условие

а) Решите уравнение \frac{\sin x-1}{1+\cos 2x}=\frac{\sin x-1}{1+\cos (\pi +x)}.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[ -\frac{3\pi }{2}; -\frac{\pi }2 \right].

Задание 14

Тип задания: 14
Тема: Площадь сечения

Условие

В правильной четырёхугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1 сторона основания равна 9, боковое ребро равно 14. Точка K принадлежит ребру A_1B_1 и делит его в отношении 2:7, считая от вершины A_1.

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью, проходящей через точки A, C и K, является равнобедренной трапецией.

б) Найдите площадь этого сечения.

Задание 15

Тип задания: 15
Тема: Показательные неравенства

Условие

Решите неравенство 3^{2x^2+7}+3^{(x+3)(x+1)}-4\cdot 3^{8x}\geqslant 0.

Задание 16

Тип задания: 16
Тема: Окружности и треугольники

Условие

Две окружности различных радиусов касаются друг друга внешним образом. Их общие касательные, не проходящие через точку касания окружностей, пересекаются в точке O. При этом одна из касательных касается окружностей в точках A и C, считая от точки O, а другая — соответственно в точках B и D.

а) Докажите, что прямая AB перпендикулярна биссектрисе угла, образованного указанными касательными.

б) Найдите расстояние от середины отрезка AB до точки C, если радиусы окружностей равны 2 и 6.

Задание 17

Тип задания: 17
Тема: Практические задачи

Условие

Вклад планируется положить на три года, он составляет целое число десятков тысяч рублей. В конце каждого года вклад возрастает на 10% в сравнении с его размером в начале года. Известно, что, в начале второго и третьего годов, вклад будет пополняться по 30\,000 рублей. Определите наибольший размер первоначального вклада, при котором через три года он будет меньше 96\,000 рублей.

Задание 18

Тип задания: 18
Тема: Системы уравнений с параметром

Условие

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений \begin{cases} \frac{xy^2-5xy-5y+25}{\sqrt {x+5}}=0, \\ y=ax \end{cases} имеет ровно два различных решения.

Задание 19

Тип задания: 19
Тема: Числа и их свойства

Условие

Кристина задумала трёхзначное натуральное число.

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 3?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 28?

в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?